Номер 1, страница 176, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Что называют определённым интегралом от функции $y = f(x)$ по отрезку $[a; b]$? Как обозначается определённый интеграл?

Что называют определённым интегралом от функции y = f(x) по отрезку [a; b]?

Определённый интеграл от непрерывной на отрезке $[a; b]$ функции $y = f(x)$ можно определить несколькими способами, которые дополняют друг друга.

1. Геометрическое определение: Если функция $f(x)$ неотрицательна (т.е. $f(x) \ge 0$) на отрезке $[a; b]$, то определённый интеграл от этой функции численно равен площади криволинейной трапеции. Это фигура, ограниченная сверху графиком функции $y=f(x)$, снизу — осью абсцисс (Ox), а по бокам — вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$.

2. Определение через предел интегральных сумм (определение Римана): Это более строгое и общее определение. Процесс выглядит следующим образом:
• Отрезок интегрирования $[a; b]$ разбивается на $n$ элементарных (малых) отрезков точками $a = x_0 < x_1 < x_2 < ... < x_n = b$. Длина каждого такого отрезка обозначается как $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$.
• Внутри каждого элементарного отрезка $[x_{i-1}; x_i]$ выбирается произвольная точка $\xi_i$.
• Составляется интегральная сумма $S_n$ как сумма площадей прямоугольников, у которых основание равно $\Delta x_i$, а высота — значению функции в точке $\xi_i$, то есть $f(\xi_i)$:
$S_n = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i$
• Определённый интеграл — это предел, к которому стремится эта интегральная сумма, когда длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю ($\max \Delta x_i \to 0$), и этот предел не зависит от способа разбиения отрезка и выбора точек $\xi_i$.
Математически это записывается так:
$\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i$

3. Через первообразную (формула Ньютона-Лейбница): Определённый интеграл от функции $f(x)$ на отрезке $[a; b]$ равен разности значений любой её первообразной $F(x)$ (т.е. такой функции, что $F'(x) = f(x)$) на концах этого отрезка:
$\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$
Эта формула является основным инструментом для вычисления определённых интегралов на практике.

Как обозначается определённый интеграл?

Определённый интеграл от функции $f(x)$ по отрезку $[a; b]$ обозначается следующим образом:
$\int_{a}^{b} f(x) dx$
Расшифровка этого обозначения:
• $\int$ — знак интеграла. Исторически произошел от стилизованной буквы S, первой буквы латинского слова summa (сумма).
• $a$ — нижний предел интегрирования (начало отрезка).
• $b$ — верхний предел интегрирования (конец отрезка).
• $f(x)$ — подынтегральная функция.
• $dx$ — дифференциал переменной интегрирования, который указывает, по какой переменной (в данном случае $x$) производится операция интегрирования.

Ответ: Определённым интегралом от функции $y=f(x)$ по отрезку $[a; b]$ называют предел её интегральных сумм $\lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i$. Геометрически для неотрицательной функции он равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, осью Ox и прямыми $x=a$ и $x=b$. Обозначается определённый интеграл как $\int_{a}^{b} f(x) dx$.