Номер 6, страница 176, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

6. Что такое криволинейная трапеция?

Криволинейная трапеция — это плоская фигура на координатной плоскости $Oxy$, ограниченная графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке $[a, b]$ функции $y=f(x)$, осью абсцисс (прямой $y=0$) и двумя вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$.

Чтобы фигура считалась криволинейной трапецией, должны выполняться следующие условия:
1. Функция $f(x)$ должна быть непрерывной на отрезке $[a, b]$. Это означает, что ее график на этом отрезке представляет собой сплошную линию без разрывов.
2. Функция $f(x)$ должна быть неотрицательной на отрезке $[a, b]$, то есть $f(x) \geq 0$ для всех $x$ из этого отрезка. Это означает, что график функции расположен не ниже оси $x$.

Таким образом, криволинейная трапеция ограничена четырьмя линиями:
• Сверху — графиком функции $y=f(x)$.
• Снизу — отрезком оси абсцисс $[a, b]$.
• Слева и справа — отрезками вертикальных прямых $x=a$ и $x=b$ (где $a < b$).

Понятие криволинейной трапеции является фундаментальным в интегральном исчислении, поскольку ее площадь представляет собой геометрический смысл определенного интеграла. Площадь $S$ криволинейной трапеции вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$

Например, фигура, ограниченная графиком функции $y=x^2+1$, осью $Ox$ и прямыми $x=0$ и $x=2$, является криволинейной трапецией. Здесь $f(x)=x^2+1$, $a=0$, $b=2$. Функция непрерывна и положительна на отрезке $[0, 2]$. Площадь этой фигуры будет равна $\int_{0}^{2} (x^2+1) \,dx$.

Ответ: Криволинейная трапеция — это фигура на плоскости, ограниченная графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке $[a, b]$ функции $y=f(x)$, осью абсцисс ($y=0$) и двумя вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$. Площадь такой фигуры вычисляется как определенный интеграл от функции $f(x)$ по отрезку $[a, b]$: $S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$.