Номер 4, страница 178, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

4. Задание натурального логарифма при помощи определённого интеграла.

Натуральный логарифм, обозначаемый как $\ln(x)$, для любого положительного числа $x$ может быть определён через определённый интеграл. Этот подход является одним из фундаментальных в математическом анализе, поскольку он позволяет строго построить теорию логарифмических и показательных функций, не прибегая к определению степени с иррациональным показателем.

Формальное определение натурального логарифма числа $x > 0$ задается следующим образом:$$ \ln(x) = \int_{1}^{x} \frac{1}{t} dt $$

С геометрической точки зрения, это определение означает, что значение $\ln(x)$ равно площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции (гиперболой) $y = \frac{1}{t}$, осью абсцисс $Ot$ и вертикальными прямыми $t=1$ и $t=x$.Из этого следует:
• Если $x > 1$, интеграл представляет собой площадь, и его значение положительно.
• Если $x = 1$, пределы интегрирования совпадают, и интеграл равен нулю: $\ln(1) = \int_{1}^{1} \frac{1}{t} dt = 0$.
• Если $0 < x < 1$, то интеграл можно переписать как $\ln(x) = \int_{1}^{x} \frac{1}{t} dt = -\int_{x}^{1} \frac{1}{t} dt$. Поскольку $x < 1$, интеграл $\int_{x}^{1} \frac{1}{t} dt$ положителен (представляет площадь), а значит $\ln(x)$ имеет отрицательное значение.

Из этого интегрального определения можно строго вывести все основные свойства натурального логарифма.

Производная логарифма.Используя основную теорему анализа (формулу Ньютона-Лейбница в форме с переменным верхним пределом), мы можем найти производную функции $F(x) = \ln(x) = \int_{1}^{x} \frac{1}{t} dt$. Производная интеграла по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции в этой точке:$$ (\ln(x))' = \frac{d}{dx} \left( \int_{1}^{x} \frac{1}{t} dt \right) = \frac{1}{x} $$Это доказывает, что функция, заданная интегралом, является первообразной для функции $\frac{1}{x}$ на интервале $(0, +\infty)$.

Логарифм произведения: $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$.Рассмотрим $\ln(ab)$:$$ \ln(ab) = \int_{1}^{ab} \frac{1}{t} dt = \int_{1}^{a} \frac{1}{t} dt + \int_{a}^{ab} \frac{1}{t} dt $$Первый интеграл в сумме по определению равен $\ln(a)$. Во втором интеграле $\int_{a}^{ab} \frac{1}{t} dt$ сделаем замену переменной. Пусть $t = au$, тогда $dt = a\,du$. Новые пределы интегрирования: если $t=a$, то $u=1$; если $t=ab$, то $u=b$.$$ \int_{a}^{ab} \frac{1}{t} dt = \int_{1}^{b} \frac{1}{au} (a\,du) = \int_{1}^{b} \frac{1}{u} du = \ln(b) $$Таким образом, мы получаем: $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$.

Логарифм частного: $\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$.Это свойство легко выводится из предыдущего.$$ \ln(a) = \ln\left(\frac{a}{b} \cdot b\right) = \ln\left(\frac{a}{b}\right) + \ln(b) $$Отсюда следует: $\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$.

Логарифм степени: $\ln(x^p) = p \ln(x)$.Это свойство можно доказать, показав, что производные левой и правой частей равны.Производная левой части (используем правило дифференцирования сложной функции):$$ \frac{d}{dx}(\ln(x^p)) = \frac{1}{x^p} \cdot (x^p)' = \frac{1}{x^p} \cdot p x^{p-1} = \frac{p}{x} $$Производная правой части:$$ \frac{d}{dx}(p \ln(x)) = p \cdot (\ln x)' = p \cdot \frac{1}{x} = \frac{p}{x} $$Поскольку производные обеих функций равны, сами функции отличаются на константу: $\ln(x^p) = p \ln(x) + C$. Чтобы найти $C$, подставим $x=1$:$$ \ln(1^p) = p \ln(1) + C $$$$ \ln(1) = p \cdot 0 + C $$$$ 0 = C $$Следовательно, $C=0$ и $\ln(x^p) = p \ln(x)$ для любого действительного $p$ и $x > 0$.

Данное определение также позволяет ввести число Эйлера $e$ как единственное число, для которого $\ln(e) = 1$. То есть, $e$ — это такое число, что площадь под гиперболой $y=1/t$ на отрезке от $1$ до $e$ в точности равна единице.$$ \int_{1}^{e} \frac{1}{t} dt = 1 $$

Ответ: Натуральный логарифм положительного числа $x$ определяется как определённый интеграл $ \ln(x) = \int_{1}^{x} \frac{1}{t} dt $. Этот подход позволяет строго вывести все алгебраические и аналитические свойства логарифмической функции, такие как $\ln(1)=0$, $(\ln x)' = 1/x$, $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ и $\ln(x^p) = p \ln(x)$, а также определить число $e$. Геометрически $\ln(x)$ представляет собой площадь области под графиком функции $y=1/t$ в пределах от $t=1$ до $t=x$.