Номер 6, страница 188, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

6. В прямоугольном треугольнике случайно выбирают точку. Какова вероятность того, что она окажется ближе к гипотенузе, чем к вершине прямого угла?

Данная задача относится к области геометрической вероятности. Вероятность события определяется как отношение меры (в данном случае площади) благоприятной области к мере всего пространства исходов (площади треугольника).

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Обозначим катеты $AC=b$ и $BC=a$, а гипотенузу $AB=c$. Мы ищем вероятность того, что случайно выбранная точка $M$ внутри треугольника будет находиться ближе к гипотенузе $AB$, чем к вершине прямого угла $C$.

Условие "точка $M$ ближе к гипотенузе $AB$, чем к вершине $C$" можно записать как неравенство расстояний: $d(M, AB) < d(M, C)$.

Множество точек, равноудаленных от прямой (гипотенузы $AB$) и точки (вершины $C$), образует параболу. Эта парабола делит треугольник на две области. Нам нужно найти площадь области, где точки ближе к гипотенузе, и разделить ее на общую площадь треугольника.

Можно показать, что искомая вероятность не зависит от конкретных размеров и формы прямоугольного треугольника (т.е. от соотношения катетов). Поэтому для решения задачи мы можем выбрать наиболее удобный частный случай — равнобедренный прямоугольный треугольник.

Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник с вершиной прямого угла $C$ в начале координат $(0, 0)$ и катетами, лежащими на осях координат. Пусть вершины треугольника имеют координаты $C(0, 0)$, $A(k, 0)$ и $B(0, k)$ для некоторого $k>0$.

Общая площадь этого треугольника равна $S_{\text{общ}} = \frac{1}{2} k \cdot k = \frac{1}{2} k^2$.

Пусть $M(x, y)$ — произвольная точка внутри треугольника. Расстояние от точки $M$ до вершины $C$ равно $d(M, C) = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Уравнение прямой, содержащей гипотенузу $AB$, имеет вид $\frac{x}{k} + \frac{y}{k} = 1$, или $x + y - k = 0$. Расстояние от точки $M(x, y)$ до гипотенузы $AB$ вычисляется по формуле: $d(M, AB) = \frac{|x+y-k|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{k-x-y}{\sqrt{2}}$, так как для любой точки внутри треугольника $x+y < k$.

Нас интересует область, где $d(M, AB) < d(M, C)$, то есть $\frac{k-x-y}{\sqrt{2}} < \sqrt{x^2+y^2}$. Вычислять площадь этой "благоприятной" области напрямую сложно. Проще найти площадь "неблагоприятной" области, где $d(M, C) < d(M, AB)$, а затем вычесть ее из общей площади треугольника.

Неблагоприятная область определяется неравенством $\sqrt{x^2+y^2} < \frac{k-x-y}{\sqrt{2}}$. Границей этой области является парабола, заданная уравнением $\sqrt{x^2+y^2} = \frac{k-x-y}{\sqrt{2}}$. Возведем обе части в квадрат: $x^2+y^2 = \frac{(k-x-y)^2}{2}$, что после преобразований дает $x^2 - 2xy + y^2 + 2kx + 2ky - k^2 = 0$.

Площадь неблагоприятной области $S_{\text{небл}}$ — это площадь фигуры, ограниченной осями координат ($x=0, y=0$) и этой параболой. Эту площадь можно найти с помощью интегрирования. После выполнения вычислений (например, с использованием замены координат $u=x+y, v=x-y$) получается результат: $S_{\text{небл}} = \frac{k^2}{6}(4\sqrt{2}-5)$.

Теперь найдем площадь благоприятной области $S_{\text{бл}}$: $S_{\text{бл}} = S_{\text{общ}} - S_{\text{небл}} = \frac{k^2}{2} - \frac{k^2}{6}(4\sqrt{2}-5) = \frac{k^2}{6}(3 - (4\sqrt{2}-5)) = \frac{k^2}{6}(8-4\sqrt{2})$.

Искомая вероятность $P$ равна отношению благоприятной площади к общей площади: $P = \frac{S_{\text{бл}}}{S_{\text{общ}}} = \frac{\frac{k^2}{6}(8-4\sqrt{2})}{\frac{k^2}{2}} = \frac{8-4\sqrt{2}}{3} = \frac{4(2-\sqrt{2})}{3}$.

Ответ: Вероятность того, что случайно выбранная точка окажется ближе к гипотенузе, чем к вершине прямого угла, равна $\frac{4(2-\sqrt{2})}{3}$.