Номер 4, страница 197, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

4. Сформулируйте теорему Бернулли. С помощью дерева вариантов проведите доказательство в случае $n=3, k=1$.

Формулировка теоремы Бернулли

Теорема Бернулли (или формула Бернулли) позволяет находить вероятность появления события $A$ определённое число раз при многократном повторении независимых испытаний.

Формулировка: если проводится серия из $n$ независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления события $A$ (успеха) постоянна и равна $p$, а вероятность его ненаступления (неудачи) равна $q = 1-p$, то вероятность того, что в этой серии испытаний событие $A$ наступит ровно $k$ раз, вычисляется по формуле:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

Здесь:

• $n$ — общее число независимых испытаний.
• $k$ — число наступлений события $A$ (число успехов).
• $p$ — вероятность наступления события $A$ в одном испытании.
• $q$ — вероятность ненаступления события $A$ в одном испытании ($q = 1-p$).
• $C_n^k$ — число сочетаний из $n$ по $k$, которое показывает, сколькими способами можно выбрать $k$ успешных испытаний из $n$. Оно вычисляется как $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Доказательство в случае n = 3, k = 1 с помощью дерева вариантов

Рассмотрим случай, когда проводится $n=3$ независимых испытания, и нам необходимо найти вероятность того, что событие (успех) произойдет ровно $k=1$ раз.

Обозначим успех буквой «У» с вероятностью $p$, а неудачу — буквой «Н» с вероятностью $q = 1-p$.

Дерево вариантов для трёх испытаний будет иметь $2^3 = 8$ конечных исходов (листьев). Каждый путь от корня к листу представляет собой уникальную последовательность из трёх исходов. Перечислим все возможные исходы и их вероятности:

• УУУ: Вероятность = $p \cdot p \cdot p = p^3$
• УУН: Вероятность = $p \cdot p \cdot q = p^2q$
• УНУ: Вероятность = $p \cdot q \cdot p = p^2q$
• НУУ: Вероятность = $q \cdot p \cdot p = p^2q$
• УНН: Вероятность = $p \cdot q \cdot q = pq^2$
• НУН: Вероятность = $q \cdot p \cdot q = pq^2$
• ННУ: Вероятность = $q \cdot q \cdot p = pq^2$
• ННН: Вероятность = $q \cdot q \cdot q = q^3$

Нас интересуют исходы, в которых успех «У» встречается ровно один раз ($k=1$). Из списка видно, что таких исходов три (выделены жирным шрифтом): УНН, НУН, ННУ.

Вероятность каждого из этих трёх исходов одинакова и равна $p^1 \cdot q^{3-1} = pq^2$.

Поскольку эти исходы являются несовместными (не могут произойти одновременно), общая вероятность получить ровно один успех в трёх испытаниях, $P_3(1)$, равна сумме их вероятностей:

$P_3(1) = P(УНН) + P(НУН) + P(ННУ) = pq^2 + pq^2 + pq^2 = 3pq^2$.

Теперь сравним полученный результат с формулой Бернулли для $n=3$ и $k=1$:

$P_3(1) = C_3^1 \cdot p^1 \cdot q^{3-1} = C_3^1 pq^2$.

Вычислим число сочетаний $C_3^1$:

$C_3^1 = \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{3!}{1!2!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{1 \cdot (2 \cdot 1)} = 3$.

Подставляя значение $C_3^1=3$ в формулу, получаем:

$P_3(1) = 3pq^2$.

Результат, полученный с помощью дерева вариантов ($3pq^2$), полностью совпадает с результатом, вычисленным по формуле Бернулли. Это доказывает справедливость теоремы для данного частного случая.

Ответ: Теорема Бернулли утверждает, что вероятность наступления ровно $k$ успехов в $n$ независимых испытаниях равна $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $p$ — вероятность успеха, а $q=1-p$ — вероятность неудачи. Доказательство для случая $n=3, k=1$ с помощью дерева вариантов показывает, что существуют 3 благоприятных исхода (УНН, НУН, ННУ), вероятность каждого из которых равна $pq^2$. Итоговая вероятность равна их сумме $3pq^2$, что совпадает с результатом по формуле Бернулли: $P_3(1) = C_3^1 p^1 q^2 = 3pq^2$.