Номер 8, страница 188, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

8. В шаре случайно выбирают точку. Какова вероятность того, что она окажется ближе к границе шара, чем к его центру?

Для решения данной задачи используется геометрическое определение вероятности. Вероятность события равна отношению объема области, соответствующей благоприятному исходу, к общему объему всего пространства возможных исходов.

Пусть шар имеет радиус $R$, а его центр совпадает с началом координат. Общий объем, в котором случайным образом выбирается точка, — это объем всего шара. Формула для объема шара:

$V_{общ} = \frac{4}{3}\pi R^3$

Пусть случайно выбранная точка $M$ находится на расстоянии $r$ от центра шара. Так как точка выбирается внутри шара, то $0 \le r \le R$.

Расстояние от точки $M$ до центра шара равно $r$.

Расстояние от точки $M$ до границы шара (до ближайшей точки на сфере) равно $R - r$.

Нас интересует событие, при котором точка $M$ окажется ближе к границе шара, чем к его центру. Это условие можно записать в виде неравенства:

$R - r < r$

Решим это неравенство:

$R < 2r$

$r > \frac{R}{2}$

Это означает, что благоприятным исходом является выбор точки, расстояние которой от центра превышает половину радиуса шара. Все такие точки образуют область, представляющую собой исходный шар радиуса $R$, из которого удален внутренний концентрический шар радиусом $r_{вн} = \frac{R}{2}$. Эта область является шаровым слоем.

Найдем объем этой "благоприятной" области, $V_{бл}$. Он равен разности объемов большого и малого шаров:

$V_{бл} = V_{общ} - V_{вн} = \frac{4}{3}\pi R^3 - \frac{4}{3}\pi \left(\frac{R}{2}\right)^3$

$V_{бл} = \frac{4}{3}\pi R^3 - \frac{4}{3}\pi \frac{R^3}{8} = \frac{4}{3}\pi R^3 \left(1 - \frac{1}{8}\right) = \frac{4}{3}\pi R^3 \cdot \frac{7}{8}$

Искомая вероятность $P$ равна отношению благоприятного объема к общему объему:

$P = \frac{V_{бл}}{V_{общ}} = \frac{\frac{4}{3}\pi R^3 \cdot \frac{7}{8}}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{7}{8}$

Ответ: $\frac{7}{8}$