Номер 6, страница 197, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

6. Вероятность «успеха» в испытании равна $p$. Чему равна вероятность того, что в четырёх независимых повторениях испытания «успехов» будет столько же, сколько и «неудач»?

Данная задача решается с использованием схемы независимых испытаний Бернулли. В этой схеме рассматривается серия из $n$ испытаний, в каждом из которых событие «успех» наступает с постоянной вероятностью $p$.

По условию задачи, общее количество независимых повторений испытания составляет $n=4$. Вероятность «успеха» в каждом испытании равна $p$. Соответственно, вероятность «неудачи» в каждом испытании будет равна $q = 1-p$.

Нас интересует событие, при котором «успехов» будет столько же, сколько и «неудач». Пусть $k$ — это число «успехов», а $m$ — число «неудач». Тогда $k+m=n=4$. Условие $k=m$ приводит к уравнению $k+k=4$, откуда получаем $k=2$.

Таким образом, нам необходимо найти вероятность того, что в 4 испытаниях произойдет ровно 2 «успеха» (и, следовательно, $4-2=2$ «неудачи»).

Вероятность того, что в $n$ независимых испытаниях событие наступит ровно $k$ раз, вычисляется по формуле Бернулли:

$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний из $n$ по $k$.

Подставим в эту формулу наши значения: $n=4$, $k=2$ и $q=1-p$.

$P_4(2) = C_4^2 \cdot p^2 \cdot (1-p)^{4-2} = C_4^2 \cdot p^2 \cdot (1-p)^2$

Теперь вычислим биномиальный коэффициент $C_4^2$:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1)(2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6$

Этот коэффициент показывает, что существует ровно 6 комбинаций, при которых в 4 испытаниях будет 2 успеха и 2 неудачи.

Подставляя значение коэффициента в формулу вероятности, получаем окончательный результат:

$P_4(2) = 6 p^2 (1-p)^2$

Ответ: $6p^2(1-p)^2$