Номер 6, страница 210, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

6. Как изменится среднее значение ряда данных, если все данные уменьшить на 5?

Чтобы определить, как изменится среднее значение ряда данных, если каждый его элемент уменьшить на одно и то же число, рассмотрим общее решение, а затем проверим его на конкретном примере.

Пусть имеется произвольный ряд данных, состоящий из $n$ элементов: $x_1, x_2, \ldots, x_n$.

Среднее значение (или среднее арифметическое) этого ряда, которое мы обозначим как $\bar{x}$, вычисляется как сумма всех элементов, деленная на их количество: $$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}$$

Теперь, согласно условию задачи, мы уменьшаем каждый элемент этого ряда на 5. В результате получаем новый ряд данных: $$(x_1 - 5), (x_2 - 5), \ldots, (x_n - 5)$$

Давайте вычислим среднее значение для этого нового ряда. Обозначим его как $\bar{x}_{\text{новое}}$. Для этого мы должны сложить все элементы нового ряда и разделить на их количество, которое осталось прежним ($n$): $$\bar{x}_{\text{новое}} = \frac{(x_1 - 5) + (x_2 - 5) + \ldots + (x_n - 5)}{n}$$

Раскроем скобки в числителе и сгруппируем слагаемые: вынесем все $x_i$ в одну группу, а все пятерки — в другую. $$\bar{x}_{\text{новое}} = \frac{(x_1 + x_2 + \ldots + x_n) - (5 + 5 + \ldots + 5)}{n}$$ В скобках число 5 повторяется $n$ раз.

Сумма $n$ пятерок равна $5n$. Подставим это в выражение: $$\bar{x}_{\text{новое}} = \frac{(x_1 + x_2 + \ldots + x_n) - 5n}{n}$$

Теперь мы можем разделить это выражение на два слагаемых, почленно разделив числитель на знаменатель: $$\bar{x}_{\text{новое}} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} - \frac{5n}{n}$$

Первый член этого выражения, $\frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}$, является не чем иным, как исходным средним значением $\bar{x}$. Второй член, $\frac{5n}{n}$, после сокращения равен 5.

Таким образом, мы получаем связь между новым и старым средним значением: $$\bar{x}_{\text{новое}} = \bar{x} - 5$$

Этот результат доказывает, что если каждый элемент ряда данных уменьшить на 5, то и среднее значение всего ряда также уменьшится на 5. Это общее свойство среднего арифметического.

Пример для наглядности:

Возьмем простой ряд данных: 10, 20, 30.

Его среднее значение: $\bar{x} = \frac{10 + 20 + 30}{3} = \frac{60}{3} = 20$.

Теперь уменьшим каждый элемент на 5. Получим новый ряд: $(10 - 5), (20 - 5), (30 - 5)$, то есть ряд 5, 15, 25.

Найдем среднее значение нового ряда: $\bar{x}_{\text{новое}} = \frac{5 + 15 + 25}{3} = \frac{45}{3} = 15$.

Сравним новое и старое средние значения: $15 = 20 - 5$. Действительно, среднее значение уменьшилось ровно на 5.

Ответ: Среднее значение ряда данных уменьшится на 5.