Номер 8, страница 210, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

8. Как изменится дисперсия ряда данных, если все данные увеличить на 3?

Чтобы понять, как изменится дисперсия, рассмотрим ее определение и свойства. Дисперсия — это мера разброса данных относительно их среднего значения. Она вычисляется как среднее арифметическое квадратов отклонений каждого значения в наборе данных от их среднего арифметического.

Пусть исходный ряд данных состоит из $n$ элементов: $x_1, x_2, \dots, x_n$.

Среднее значение (математическое ожидание) этого ряда равно:
$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$

Дисперсия исходного ряда данных $D_x$ вычисляется по формуле:
$D_x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$

Теперь, согласно условию задачи, мы увеличиваем каждое значение ряда на 3. Получаем новый ряд данных $y_1, y_2, \dots, y_n$, где каждый элемент $y_i = x_i + 3$.

Сначала найдем, как изменится среднее значение. Вычислим среднее для нового ряда $\bar{y}$:
$\bar{y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} y_i = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i + 3) = \frac{1}{n}(\sum_{i=1}^{n} x_i + \sum_{i=1}^{n} 3) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i + \frac{3n}{n} = \bar{x} + 3$
Таким образом, среднее значение нового ряда также увеличилось на 3.

Теперь вычислим дисперсию нового ряда данных $D_y$, используя новые значения $y_i$ и новое среднее $\bar{y}$:
$D_y = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2$
Подставим в эту формулу $y_i = x_i + 3$ и $\bar{y} = \bar{x} + 3$:
$D_y = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} ((x_i + 3) - (\bar{x} + 3))^2$
Упростим выражение в скобках:
$(x_i + 3) - (\bar{x} + 3) = x_i + 3 - \bar{x} - 3 = x_i - \bar{x}$
В результате формула для $D_y$ принимает вид:
$D_y = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$

Мы видим, что полученное выражение для дисперсии нового ряда $D_y$ в точности совпадает с выражением для дисперсии исходного ряда $D_x$. Следовательно, $D_y = D_x$.

Это свойство дисперсии можно объяснить интуитивно: прибавление одной и той же константы ко всем элементам ряда данных сдвигает весь ряд по числовой оси, но не изменяет взаимного расположения его элементов и их разброса относительно центра. А так как дисперсия является мерой именно этого разброса, она остается неизменной.

Ответ: Дисперсия не изменится.