Номер 9, страница 210, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

9. Как изменится среднее квадратическое отклонение ряда данных, если все данные удвоить?

Чтобы определить, как изменится среднее квадратическое отклонение, необходимо последовательно проследить, как удвоение каждого элемента ряда данных влияет на связанные с ним статистические показатели: среднее арифметическое, дисперсию и, наконец, само среднее квадратическое отклонение.

Пусть исходный ряд данных состоит из $n$ элементов: $x_1, x_2, \dots, x_n$.

Среднее арифметическое этого ряда ($\mu$) равно: $\mu = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$

Среднее квадратическое отклонение ($\sigma$) для этого ряда данных вычисляется по формуле, где оно является квадратным корнем из дисперсии: $\sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2}$

Теперь рассмотрим новый ряд данных, в котором каждый элемент удвоен: $2x_1, 2x_2, \dots, 2x_n$. Обозначим элементы нового ряда как $y_i = 2x_i$.

1. Вычислим новое среднее арифметическое ($\mu'$).
Среднее нового ряда данных будет: $\mu' = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(2x_i) = 2 \cdot \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i\right) = 2\mu$ Как видим, среднее арифметическое нового ряда также удвоилось.

2. Вычислим новую дисперсию ($\sigma'^2$).
Дисперсия — это средний квадрат отклонений от среднего. Для нового ряда она будет: $\sigma'^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i - \mu')^2}$ Подставим значения $y_i=2x_i$ и $\mu'=2\mu$: $\sigma'^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(2x_i - 2\mu)^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(2(x_i - \mu))^2$ Возведем выражение в скобках в квадрат: $\sigma'^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}4(x_i - \mu)^2$ Вынесем константу 4 за знак суммы: $\sigma'^2 = 4 \cdot \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2\right) = 4\sigma^2$ Следовательно, новая дисперсия в 4 раза больше исходной.

3. Вычислим новое среднее квадратическое отклонение ($\sigma'$).
Новое СКО — это квадратный корень из новой дисперсии: $\sigma' = \sqrt{\sigma'^2} = \sqrt{4\sigma^2} = 2\sqrt{\sigma^2} = 2\sigma$ Таким образом, новое среднее квадратическое отклонение в два раза больше исходного.

Ответ: Среднее квадратическое отклонение удвоится.