Номер 3, страница 220, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

3. Укажите промежутки возрастания и убывания гауссовой кривой.

Гауссова кривая, также известная как кривая Гаусса или кривая нормального распределения, описывается функцией Гаусса. Общий вид этой функции:

$f(x) = a \cdot e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

где:

• $a$ – амплитуда, или высота пика кривой ($a > 0$).
• $\mu$ – математическое ожидание, которое определяет положение центра (пика) кривой по оси абсцисс.
• $\sigma$ – стандартное отклонение, которое определяет ширину кривой ($\sigma > 0$).

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции необходимо исследовать знак её первой производной, $f'(x)$.

Найдем производную функции $f(x)$ по переменной $x$, используя правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = \left( a \cdot e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \right)' = a \cdot e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \cdot \left( -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right)' = a \cdot e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \cdot \left( -\frac{2(x-\mu)}{2\sigma^2} \right) = -\frac{a(x-\mu)}{\sigma^2} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

Теперь проанализируем знак производной $f'(x)$. Множители $a$, $\sigma^2$ и экспоненциальный член $e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$ всегда положительны (так как по определению $a > 0, \sigma > 0$, а значение экспоненты всегда положительно). Следовательно, знак производной $f'(x)$ противоположен знаку выражения $(x-\mu)$.

Промежуток возрастания

Функция возрастает, когда её производная положительна: $f'(x) > 0$. Это условие выполняется, когда $-(x-\mu) > 0$, что эквивалентно $x-\mu < 0$, или $x < \mu$. Следовательно, функция возрастает на промежутке $(-\infty, \mu)$.

Промежуток убывания

Функция убывает, когда её производная отрицательна: $f'(x) < 0$. Это условие выполняется, когда $-(x-\mu) < 0$, что эквивалентно $x-\mu > 0$, или $x > \mu$. Следовательно, функция убывает на промежутке $(\mu, +\infty)$.

Точка $x = \mu$ является точкой экстремума (глобального максимума) функции, где характер монотонности меняется с возрастания на убывание.

Ответ: Гауссова кривая возрастает на промежутке $(-\infty, \mu)$ и убывает на промежутке $(\mu, +\infty)$, где $\mu$ — это координата x вершины кривой (математическое ожидание).