Номер 3, страница 222, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

3. Формула Бернулли и формула бинома Ньютона.

Формула Бернулли

Формула Бернулли используется в теории вероятностей для вычисления вероятности того, что в серии из $n$ независимых испытаний некоторое событие $A$ произойдет ровно $k$ раз. При этом вероятность наступления события $A$ в каждом отдельном испытании постоянна и равна $p$. Вероятность того, что событие $A$ не наступит (противоположное событие), равна $q = 1 - p$.

Такая последовательность испытаний называется схемой Бернулли или испытаниями Бернулли. Основные условия применимости формулы:

• Количество испытаний $n$ фиксировано.
• Все испытания независимы друг от друга.
• Каждое испытание имеет только два исхода: "успех" (событие $A$ произошло) и "неудача" (событие $A$ не произошло).
• Вероятность "успеха" $p$ одинакова для всех испытаний.

Для нахождения искомой вероятности рассуждаем следующим образом. Рассмотрим одну конкретную последовательность, в которой было $k$ успехов и, соответственно, $n-k$ неудач. Поскольку испытания независимы, вероятность такой конкретной последовательности равна произведению вероятностей каждого исхода: $p^k \cdot q^{n-k}$.

Однако таких последовательностей может быть много. Например, при $n=3, k=2$ успехи могут быть на (1,2), (1,3) или (2,3) испытаниях. Количество способов выбрать $k$ "успешных" испытаний из $n$ возможных равно числу сочетаний из $n$ по $k$, которое обозначается как $C_n^k$ или $\binom{n}{k}$.

Число сочетаний вычисляется по формуле: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n!$ - это факториал числа $n$.

Итоговая формула Бернулли получается путем умножения вероятности одной конкретной последовательности на общее число таких последовательностей.

Ответ: Вероятность $P_n(k)$ того, что в $n$ независимых испытаниях событие наступит ровно $k$ раз, вычисляется по формуле Бернулли: $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $p$ – вероятность наступления события в одном испытании, а $q = 1 - p$.

Формула бинома Ньютона

Формула бинома Ньютона — это формула из алгебры для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени двучлена (бинома) $(a+b)$. Формула имеет вид:

$(a+b)^n = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 + C_n^2 a^{n-2} b^2 + \dots + C_n^k a^{n-k} b^k + \dots + C_n^n a^0 b^n$.

Здесь $n$ — целое неотрицательное число, а коэффициенты $C_n^k$ (читается "це из эн по ка") называются биномиальными коэффициентами. Это те же самые числа сочетаний, которые используются в формуле Бернулли. Они показывают, сколькими способами можно выбрать $k$ элементов из множества $n$ элементов без учета порядка.

Используя знак суммирования, формулу бинома Ньютона можно записать более компактно:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$

Свойства разложения:

• В разложении ровно $n+1$ слагаемое.
• Сумма показателей степеней при $a$ и $b$ в каждом слагаемом равна $n$.
• Биномиальные коэффициенты, равноудаленные от концов разложения, равны: $C_n^k = C_n^{n-k}$.

Связь с формулой Бернулли: если взять бином $(q+p)^n$ и раскрыть его по формуле бинома Ньютона, то получим:$(q+p)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k q^{n-k} p^k$.Поскольку в теории вероятностей $p+q=1$, то $(q+p)^n = 1^n = 1$. Таким образом, $\sum_{k=0}^{n} P_n(k) = 1$, что означает, что сумма вероятностей всех возможных исходов (от 0 до $n$ успехов) равна единице. Члены разложения бинома Ньютона для $(q+p)^n$ в точности соответствуют вероятностям, вычисленным по формуле Бернулли для всех возможных $k$.

Ответ: Формула бинома Ньютона для разложения степени двучлена $(a+b)^n$ имеет вид: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ – биномиальные коэффициенты.