Номер 7, страница 222, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

7. Свойства гауссовой функции и её применения в статистических задачах.

Свойства гауссовой функции

Гауссова функция, или гауссиан, — это функция, которая описывает множество природных явлений и является основой для нормального распределения в теории вероятностей и статистике. В общем виде она записывается как: $f(x) = a \cdot e^{-\frac{(x-b)^2}{2c^2}}$ , где $a$ — высота пика (амплитуда), $b$ — положение центра пика (математическое ожидание), а $c$ — ширина кривой (стандартное отклонение).

В статистике чаще всего используется стандартизированная форма гауссовой функции, известная как плотность вероятности нормального распределения: $f(x | \mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$ Здесь $\mu$ — это математическое ожидание (среднее), а $\sigma$ — стандартное отклонение ($\sigma^2$ — дисперсия). Эта функция обладает следующими ключевыми свойствами:

1. Форма и симметрия: График функции имеет характерную колоколообразную форму (bell curve) и симметричен относительно вертикальной прямой $x = \mu$. Это означает, что $f(\mu - \delta) = f(\mu + \delta)$ для любого $\delta$.

2. Максимум: Функция достигает своего единственного максимума в точке $x = \mu$. Значение этого максимума равно $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$. Чем меньше стандартное отклонение $\sigma$, тем выше и уже пик.

3. Точки перегиба: График имеет две точки перегиба, в которых кривизна меняет свой знак. Эти точки находятся на расстоянии одного стандартного отклонения от среднего: $x = \mu \pm \sigma$.

4. Асимптоты: Ось абсцисс ($y=0$) является горизонтальной асимптотой. При $x \to \pm\infty$, значение функции стремится к нулю, но никогда его не достигает.

5. Интеграл по всей оси: Полная площадь под кривой гауссиана равна единице, что является обязательным свойством для любой функции плотности вероятности: $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx = 1$

6. Правило трех сигм (68–95–99.7): Это эмпирическое правило описывает долю значений, находящихся в пределах определенного количества стандартных отклонений от среднего:
- Примерно 68.27% всех значений лежат в интервале $(\mu - \sigma, \mu + \sigma)$.
- Примерно 95.45% всех значений лежат в интервале $(\mu - 2\sigma, \mu + 2\sigma)$.
- Примерно 99.73% всех значений лежат в интервале $(\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma)$.

Ответ: Гауссова функция — это симметричная колоколообразная функция, полностью определяемая двумя параметрами (средним значением и стандартным отклонением), площадь под графиком которой равна единице. Ключевые свойства включают максимум в среднем значении, точки перегиба на расстоянии одного стандартного отклонения и правило трех сигм, описывающее распределение данных.

Применения гауссовой функции в статистических задачах

Благодаря своим уникальным свойствам и связи с нормальным распределением, гауссова функция является одной из самых важных и широко используемых в статистике.

1. Центральная предельная теорема (ЦПТ): Это фундаментальная теорема статистики, которая гласит, что сумма (или среднее арифметическое) достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы, имеет распределение, близкое к нормальному, даже если исходные распределения самих величин не являются нормальными. Это объясняет, почему нормальное распределение так часто встречается в природе и используется для моделирования ошибок измерений, биологических признаков (рост, вес) и многих других явлений.

2. Статистический вывод (доверительные интервалы и проверка гипотез):
- Доверительные интервалы: Гауссова функция (через нормальное распределение) используется для построения доверительных интервалов для оценки неизвестных параметров генеральной совокупности, например, среднего значения. Для достаточно большой выборки 95%-ный доверительный интервал для среднего $\mu$ рассчитывается как $\bar{x} \pm 1.96 \frac{s}{\sqrt{n}}$, где $\bar{x}$ — выборочное среднее, $s$ — выборочное стандартное отклонение, а $n$ — размер выборки.
- Проверка гипотез: Многие статистические тесты (z-тест, t-тест для больших выборок) основаны на предположении о нормальности данных. Тестовая статистика, рассчитанная по выборке, сравнивается с критическими значениями из стандартного нормального распределения для принятия решения об отвержении или принятии нулевой гипотезы.

3. Регрессионный анализ: В классической линейной регрессии часто предполагается, что ошибки (остатки) модели распределены нормально. Это предположение позволяет доказать, что оценки, полученные методом наименьших квадратов (МНК), являются не только несмещенными и эффективными, но и оценками максимального правдоподобия.

4. Машинное обучение:
- Гауссовский наивный байесовский классификатор: В этом алгоритме предполагается, что непрерывные признаки для каждого класса имеют гауссово распределение.
- Модели гауссовых смесей (Gaussian Mixture Models, GMM): Используются для кластеризации. GMM представляет данные как смесь нескольких гауссовых распределений, что позволяет находить кластеры эллипсоидной формы.
- Гауссовские процессы: Мощный непараметрический метод для решения задач регрессии и классификации, который определяет распределение над функциями.

5. Обработка сигналов и изображений: Гауссовские фильтры широко применяются для сглаживания данных, подавления шума и размытия изображений. Преобразование Фурье гауссовой функции также является гауссовой функцией, что делает ее удобной для анализа в частотной области.

Ответ: Гауссова функция, лежащая в основе нормального распределения, является фундаментальной в статистике благодаря Центральной предельной теореме. Она применяется для построения доверительных интервалов, проверки гипотез, в регрессионном анализе (метод наименьших квадратов), а также в современных областях, таких как обработка сигналов и машинное обучение (например, в классификаторах, моделях кластеризации и регрессии).