Номер 6, страница 220, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

6. Сформулируйте алгоритм использования функции $Ф$ в приближённых вычислениях по схеме Бернулли.

6.

Приближенные вычисления вероятностей в схеме Бернулли при большом числе испытаний $n$ проводятся с помощью предельных теорем Муавра-Лапласа: локальной и интегральной. Функция $\Phi(x)$, упомянутая в вопросе, — это интегральная функция Лапласа, которая используется в интегральной теореме. Эта теорема позволяет с высокой точностью оценить вероятность того, что число $k$ наступлений некоторого события в $n$ независимых испытаниях окажется в заданном диапазоне.

Задача: найти вероятность $P_n(k_1 \le k \le k_2)$, то есть вероятность того, что в $n$ испытаниях схемы Бернулли (где вероятность "успеха" в одном испытании равна $p$), число "успехов" $k$ будет не меньше $k_1$ и не больше $k_2$.

Алгоритм решения этой задачи основан на интегральной теореме Муавра-Лапласа, которая гласит:

$P_n(k_1 \le k \le k_2) \approx \Phi(x_2) - \Phi(x_1)$

Здесь $\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{x} e^{-t^2/2} dt$ — это стандартная функция Лапласа, значения которой для различных $x$ приведены в специальных математических таблицах.

Алгоритм вычисления:

1. Шаг 1: Проверка условий применимости теоремы.

   Интегральная теорема Муавра-Лапласа дает хорошую аппроксимацию, когда число испытаний $n$ велико. На практике для проверки применимости теоремы используют следующий критерий: произведения $np$ и $nq$ должны быть достаточно большими. Часто используется условие $npq \ge 10$, где $q = 1-p$. Если это условие не выполняется, точность вычислений может быть неудовлетворительной.

2. Шаг 2: Вычисление вспомогательных параметров.

   Необходимо рассчитать основные числовые характеристики для данной серии испытаний:

   • Вероятность "неудачи": $q = 1 - p$.
   • Математическое ожидание (среднее число) успехов: $\mu = np$.
   • Среднеквадратическое отклонение числа успехов: $\sigma = \sqrt{npq}$.
3. Шаг 3: Стандартизация границ интервала.

   Для использования функции Лапласа $\Phi(x)$, которая определена для стандартизованной нормальной величины, необходимо преобразовать границы интервала $[k_1, k_2]$ в безразмерные величины $x_1$ и $x_2$:

   • Нижняя граница: $x_1 = \frac{k_1 - np}{\sqrt{npq}}$.
   • Верхняя граница: $x_2 = \frac{k_2 - np}{\sqrt{npq}}$.

   Примечание: для повышения точности, особенно при не очень больших значениях $n$, рекомендуется применять поправку на непрерывность. Для этого интервал $[k_1, k_2]$ заменяется на $[k_1 - 0.5, k_2 + 0.5]$. Тогда формулы для $x_1$ и $x_2$ примут вид:

   • $x_1 = \frac{(k_1 - 0.5) - np}{\sqrt{npq}}$.
   • $x_2 = \frac{(k_2 + 0.5) - np}{\sqrt{npq}}$.
4. Шаг 4: Нахождение значений функции Лапласа.

   Используя таблицы значений функции Лапласа $\Phi(x)$ (или соответствующий калькулятор), нужно найти значения $\Phi(x_1)$ и $\Phi(x_2)$ для вычисленных на предыдущем шаге $x_1$ и $x_2$. При работе с таблицами важно помнить основные свойства функции Лапласа:

   • $\Phi(x)$ является нечетной функцией, то есть $\Phi(-x) = -\Phi(x)$. Это позволяет находить значения для отрицательных аргументов.
   • При $x \to \infty$, значение $\Phi(x) \to 0.5$. На практике, уже при $x > 5$ можно считать, что $\Phi(x) \approx 0.5$.
5. Шаг 5: Вычисление итоговой вероятности.

   Подставить найденные значения $\Phi(x_1)$ и $\Phi(x_2)$ в основную формулу интегральной теоремы Муавра-Лапласа для получения искомой вероятности:

   $P_n(k_1 \le k \le k_2) \approx \Phi(x_2) - \Phi(x_1)$

Этот алгоритм позволяет эффективно вычислять вероятности для схемы Бернулли, избегая громоздких расчетов по точной формуле биномиального распределения.

Ответ: Алгоритм использования функции Лапласа $\Phi$ для приближенного вычисления вероятности $P_n(k_1 \le k \le k_2)$ в схеме Бернулли включает следующие шаги:
1. Проверить выполнение условия применимости теоремы Муавра-Лапласа (например, $npq \ge 10$).
2. Рассчитать параметры: $q = 1-p$, математическое ожидание $\mu = np$ и среднеквадратическое отклонение $\sigma = \sqrt{npq}$.
3. Стандартизировать границы интервала: вычислить $x_1 = (k_1 - np)/\sigma$ и $x_2 = (k_2 - np)/\sigma$.
4. Найти по таблицам значения функции Лапласа $\Phi(x_1)$ и $\Phi(x_2)$, используя свойство нечетности $\Phi(-x) = -\Phi(x)$ при необходимости.
5. Вычислить искомую вероятность по формуле $P_n(k_1 \le k \le k_2) \approx \Phi(x_2) - \Phi(x_1)$.