Номер 3, страница 233, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

имеют корней. Можно ли назвать их равносильными?

3. Даны два уравнения: $f(x) = g(x)$ и $p(x) = h(x)$. В каком случае уравнение $f(x) = g(x)$ является следствием уравнения $p(x) = h(x)$?

Уравнение $f(x) = g(x)$ называется следствием уравнения $p(x) = h(x)$, если каждый корень уравнения $p(x) = h(x)$ является также и корнем уравнения $f(x) = g(x)$.

Чтобы формализовать это, введем обозначения для множеств решений (корней) каждого уравнения.

Пусть $M_1$ — это множество всех корней уравнения $p(x) = h(x)$. То есть, $M_1 = \{x \mid p(x) = h(x)\}$.

Пусть $M_2$ — это множество всех корней уравнения $f(x) = g(x)$. То есть, $M_2 = \{x \mid f(x) = g(x)\}$.

Тогда, по определению, уравнение $f(x) = g(x)$ является следствием уравнения $p(x) = h(x)$ в том и только в том случае, если множество решений $M_1$ является подмножеством множества решений $M_2$.

Математически это условие записывается как $M_1 \subseteq M_2$.

Это означает, что для любого числа $x_0$, если оно является решением второго уравнения (то есть $p(x_0) = h(x_0)$), то оно обязательно должно быть и решением первого уравнения (то есть $f(x_0) = g(x_0)$).

При этом в множестве решений $M_2$ могут содержаться корни, которые не являются решениями уравнения $p(x) = h(x)$. Такие корни называются "посторонними" по отношению к исходному уравнению $p(x) = h(x)$. Переход к уравнению-следствию — это одна из причин появления посторонних корней при решении уравнений.

Например, уравнение $x^2 = 25$ является следствием уравнения $x = 5$. Множество решений уравнения $x=5$ это $M_1 = \{5\}$. Множество решений уравнения $x^2=25$ это $M_2 = \{-5, 5\}$. Поскольку $\{5\} \subseteq \{-5, 5\}$, условие выполняется.

Ответ: Уравнение $f(x) = g(x)$ является следствием уравнения $p(x) = h(x)$ в том случае, когда множество всех корней уравнения $p(x) = h(x)$ является подмножеством множества всех корней уравнения $f(x) = g(x)$.