Номер 8, страница 233, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

8. Какие вы знаете неравносильные преобразования уравнения?

Неравносильные (неэквивалентные) преобразования уравнения — это такие преобразования, которые изменяют множество корней исходного уравнения. В результате таких преобразований могут появиться посторонние корни (расширение множества решений) или, наоборот, может произойти потеря корней (сужение множества решений).

Рассмотрим основные виды неравносильных преобразований.

1. Возведение обеих частей уравнения в четную степень

Это преобразование является следствием, а не равносильным переходом. Из верного равенства $A=B$ следует верное равенство $A^2=B^2$, но из $A^2=B^2$ следует, что $A=B$ или $A=-B$. Таким образом, при возведении в квадрат могут появиться посторонние корни, которые удовлетворяют уравнению $A=-B$.

Пример:

Рассмотрим уравнение $\sqrt{x+7} = x+1$.

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x+7})^2 = (x+1)^2$

$x+7 = x^2 + 2x + 1$

$x^2 + x - 6 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

Теперь необходимо выполнить проверку, подставив найденные корни в исходное уравнение:

Для $x_1=2$: $\sqrt{2+7} = 2+1 \implies \sqrt{9} = 3 \implies 3=3$. Корень верный.

Для $x_2=-3$: $\sqrt{-3+7} = -3+1 \implies \sqrt{4} = -2 \implies 2=-2$. Равенство неверное, следовательно, $x=-3$ — посторонний корень.

Ответ: Возведение обеих частей уравнения в четную степень может привести к появлению посторонних корней. После такого преобразования обязательна проверка найденных корней или учет области допустимых значений (ОДЗ).

2. Умножение или деление обеих частей уравнения на выражение, содержащее переменную

При умножении обеих частей уравнения на выражение $g(x)$ могут появиться посторонние корни — те, которые обращают $g(x)$ в нуль. При делении на выражение $g(x)$ можно потерять корни, которые являются решениями уравнения $g(x)=0$.

Пример (потеря корня при делении):

Рассмотрим уравнение $x^2 = 5x$.

Если разделить обе части на $x$, мы получим $x=5$. При этом будет потерян корень $x=0$, который также является решением исходного уравнения ($0^2 = 5 \cdot 0$). Правильное решение — перенести все в одну часть и вынести общий множитель: $x^2 - 5x = 0 \implies x(x-5)=0$, откуда $x=0$ или $x=5$.

Пример (приобретение корня при умножении):

Рассмотрим уравнение $\frac{x^2}{x-3} = \frac{9}{x-3}$.

Если умножить обе части на $(x-3)$, мы получим $x^2 = 9$, откуда $x=3$ и $x=-3$. Однако корень $x=3$ является посторонним, так как он обращает в нуль знаменатель в исходном уравнении, что недопустимо.

Ответ: Умножение уравнения на выражение с переменной может добавить посторонние корни. Деление на выражение с переменной может привести к потере корней. Такие преобразования требуют последующей проверки или учета ОДЗ.

3. Неправильное сокращение дробей или освобождение от знаменателя

Это частный случай предыдущего пункта. При умножении на общий знаменатель для избавления от дробей могут появиться посторонние корни, которые обращают этот знаменатель в ноль.

Пример:

Рассмотрим уравнение $\frac{1}{x-2} + x = 2 + \frac{1}{x-2}$.

Если "сократить" дробь $\frac{1}{x-2}$ в обеих частях, мы получим $x=2$. Но этот корень является посторонним, так как при $x=2$ знаменатель исходной дроби равен нулю. На самом деле, после переноса всех членов в одну часть $\left(\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-2}\right) + x - 2 = 0$ и учета ОДЗ ($x \neq 2$), уравнение принимает вид $x-2=0$, что при условии $x \neq 2$ не имеет решений.

Ответ: Освобождение от знаменателя путем домножения на него является преобразованием-следствием и требует обязательной проверки корней или исключения значений, обращающих знаменатель в ноль.

4. Некорректное извлечение корня четной степени

При переходе от уравнения вида $f^2(x) = g^2(x)$ к уравнению $f(x)=g(x)$ происходит потеря корней, которые являются решениями уравнения $f(x) = -g(x)$. Правильный равносильный переход: $f^2(x) = g^2(x) \iff |f(x)| = |g(x)| \iff \left[\begin{array}{l} f(x) = g(x) \\ f(x) = -g(x) \end{array}\right.$.

Пример:

Рассмотрим уравнение $(2x-1)^2 = (x+3)^2$.

Если извлечь квадратный корень и записать $2x-1 = x+3$, получим $x=4$.

Однако мы потеряли решения уравнения $2x-1 = -(x+3)$.

$2x-1 = -x-3 \implies 3x = -2 \implies x = -\frac{2}{3}$.

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня: $x=4$ и $x=-\frac{2}{3}$.

Ответ: Извлечение корня четной степени из обеих частей уравнения без учета знака (без модуля) приводит к потере корней.

5. Потенцирование и логарифмирование

При логарифмировании обеих частей уравнения $f(x)=g(x)$ мы переходим к $\log_a(f(x)) = \log_a(g(x))$. Это преобразование сужает область допустимых значений, так как накладывает условия $f(x)>0$ и $g(x)>0$. В результате можно потерять корни, для которых $f(x) \le 0$.
При потенцировании (переход от $\log_a(f(x)) = \log_a(g(x))$ к $f(x)=g(x)$) происходит расширение ОДЗ. Исходное уравнение имело ограничения $f(x)>0$ и $g(x)>0$, а полученное может их не иметь, что может привести к появлению посторонних корней.

Пример (логарифмирование):

Уравнение $x=-5$ имеет очевидный корень. Если мы его "прологарифмируем" по основанию 10, то получим $\log_{10}(x)=\log_{10}(-5)$. Новое уравнение не имеет решений в действительных числах, так как логарифм отрицательного числа не определен. Корень $x=-5$ был потерян.

Пример (потенцирование):

Рассмотрим уравнение $\log_2(x^2) = 4$.

Выполним потенцирование: $x^2 = 2^4 \implies x^2=16$, откуда $x=4$ и $x=-4$. Оба корня подходят, так как $x^2$ будет положительным.Но если бы уравнение было $2\log_2(x) = 4$, то сначала нужно было бы учесть ОДЗ: $x>0$. Тогда $\log_2(x)=2$, и $x=2^2=4$. Корень $x=-4$ был бы посторонним.

Ответ: Логарифмирование может привести к потере корней за счет сужения ОДЗ. Потенцирование может привести к появлению посторонних корней за счет расширения ОДЗ. Необходимо всегда следить за областью допустимых значений.