Номер 13, страница 233, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

13. Укажите основные причины возможной потери корней при решении уравнений с одной переменной.

Потеря корней при решении уравнений с одной переменной может происходить из-за выполнения неэквивалентных (неравносильных) преобразований, которые сужают область определения уравнения или не учитывают все возможные случаи. Ниже приведены основные причины.

1. Деление обеих частей уравнения на выражение, содержащее переменную

Это одна из самых частых ошибок. Делить обе части уравнения на выражение $g(x)$ можно только в том случае, если мы уверены, что $g(x) \neq 0$ на всей области допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Если же существуют значения переменной $x$, при которых $g(x) = 0$, то эти значения могут быть корнями исходного уравнения, и при делении они будут потеряны.

Пример: Решить уравнение $x^2 + 5x = 0$.

Решение с потерей корня: Разделим обе части уравнения на $x$.

$ \frac{x^2 + 5x}{x} = \frac{0}{x} $

$ x + 5 = 0 $

$ x = -5 $

При таком решении был потерян корень $x=0$, который обращает в ноль делитель.

Правильное решение: Вместо деления следует использовать метод разложения на множители.

$ x^2 + 5x = 0 $

$ x(x + 5) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$ x = 0 $ или $ x + 5 = 0 $

$ x_1 = 0, x_2 = -5 $

Ответ: Правильный метод — вынесение общего множителя за скобки, что позволяет избежать деления на выражение с переменной и сохранить все корни уравнения. В данном примере были бы потеряны корни, обращающие в ноль выражение, на которое производилось деление.

2. Применение тождеств и формул, сужающих область допустимых значений (ОДЗ)

Некоторые преобразования, которые кажутся верными (например, свойства логарифмов или корней), на самом деле являются тождествами только при определенных ограничениях. Их применение без учета этих ограничений может привести к сужению ОДЗ и, как следствие, к потере корней.

Пример: Решить уравнение $\log_3 (x-4)^2 = 2$.

Решение с потерей корня: Применим свойство логарифма степени $\log_a b^p = p \log_a b$.

$ 2\log_3 (x-4) = 2 $

$ \log_3 (x-4) = 1 $

Это преобразование не равносильно исходному, так как оно сужает ОДЗ. Исходное уравнение имеет ОДЗ: $(x-4)^2 > 0$, то есть $x \neq 4$. Преобразованное уравнение имеет более строгую ОДЗ: $x-4 > 0$, то есть $x > 4$.

Решая второе уравнение, получаем: $x-4 = 3^1 \implies x=7$.

При этом теряется корень, который не удовлетворяет условию $x>4$, но удовлетворяет условию $x \neq 4$.

Правильное решение: Следует использовать определение логарифма или правильную формулу $\log_a b^{2k} = 2k \log_a|b|$.

Способ 1: По определению логарифма.

$ (x-4)^2 = 3^2 $

$ (x-4)^2 = 9 $

$ x-4 = 3 $ или $ x-4 = -3 $

$ x_1 = 7, x_2 = 1 $

Оба корня удовлетворяют ОДЗ исходного уравнения ($x \neq 4$).

Способ 2: С использованием модуля.

$ 2\log_3 |x-4| = 2 \implies \log_3 |x-4| = 1 \implies |x-4|=3 $. Это также приводит к двум корням: $x=7$ и $x=1$.

Ответ: Потеря корня произошла из-за применения свойства логарифма без учета того, что оно сужает ОДЗ. Корректное применение формул ($\log_a b^2 = 2\log_a|b|$) или решение по определению логарифма позволяет найти все корни.

3. Извлечение корня четной степени без учета модуля

При решении уравнений вида $(f(x))^2 = C$ (где $C>0$) или $(f(x))^2 = (g(x))^2$ необходимо помнить, что $\sqrt{a^2} = |a|$. Ошибка заключается в том, что вместо $|f(x)| = \sqrt{C}$ пишут $f(x) = \sqrt{C}$, теряя решения уравнения $f(x) = -\sqrt{C}$.

Пример: Решить уравнение $(2x-3)^2 = 25$.

Решение с потерей корня: Извлечем квадратный корень из обеих частей.

$ \sqrt{(2x-3)^2} = \sqrt{25} $

$ 2x-3 = 5 $

$ 2x = 8 \implies x = 4 $

В этом решении был учтен только положительный результат извлечения корня.

Правильное решение: При извлечении корня четной степени необходимо учитывать модуль.

$ \sqrt{(2x-3)^2} = \sqrt{25} $

$ |2x-3| = 5 $

Это равносильно совокупности двух уравнений:

$ 2x-3 = 5 $ или $ 2x-3 = -5 $

$ 2x = 8 $ или $ 2x = -2 $

$ x_1 = 4, x_2 = -1 $

Ответ: Потеря корня $x=-1$ произошла из-за некорректного извлечения квадратного корня, которое не учитывало отрицательный случай. Правильное преобразование — использование модуля.

4. Потеря корней при решении тригонометрических уравнений

В тригонометрических уравнениях потеря корней часто происходит из-за деления на тригонометрическую функцию, которая может обращаться в ноль, или из-за применения преобразований, сужающих ОДЗ (например, универсальная тригонометрическая подстановка).

Пример: Решить уравнение $\sin(2x) - \cos x = 0$.

Решение с потерей корня: Раскроем синус двойного угла и разделим на $\cos x$.

$ 2\sin x \cos x - \cos x = 0 $

$ 2\sin x \cos x = \cos x $

Разделим обе части на $\cos x$, предполагая, что $\cos x \neq 0$.

$ 2\sin x = 1 \implies \sin x = \frac{1}{2} $

$ x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

При этом были потеряны корни, для которых $\cos x = 0$.

Правильное решение: Вместо деления следует вынести общий множитель за скобки.

$ 2\sin x \cos x - \cos x = 0 $

$ \cos x (2\sin x - 1) = 0 $

Это уравнение распадается на два:

1) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

2) $2\sin x - 1 = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2} \implies x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Объединение этих двух серий корней дает полный ответ.

Ответ: Потеря целой серии корней ($x = \frac{\pi}{2} + \pi k$) произошла из-за деления на выражение $\cos x$, которое может быть равно нулю. Правильный подход — разложение на множители.