Номер 5, страница 241, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

5. Как можно использовать свойства функций для решения уравнения с одной переменной?

Использование свойств функций — это мощный метод решения уравнений, которые сложно или невозможно решить стандартными алгебраическими преобразованиями. Этот подход основан на анализе поведения функций, составляющих уравнение. Рассмотрим основные свойства и методы их применения.

1. Использование монотонности функции

Этот метод основан на следующем свойстве: если функция $f(x)$ является строго монотонной (то есть строго возрастает или строго убывает) на всей своей области определения, то любое своё значение она принимает ровно один раз.

Теорема 1: Если функция $f(x)$ строго монотонна на промежутке $I$, то уравнение $f(x) = C$ (где $C$ - константа) имеет на этом промежутке не более одного корня.

Теорема 2: Если функция $f(x)$ строго возрастает, а функция $g(x)$ строго убывает на промежутке $I$, то уравнение $f(x) = g(x)$ имеет на этом промежутке не более одного корня.

Алгоритм решения:
1. Преобразовать уравнение к виду $f(x) = C$ или $f(x) = g(x)$.
2. Доказать монотонность функции $f(x)$ (и $g(x)$ во втором случае). Часто для этого используют производную или свойство суммы/композиции монотонных функций.
3. Подобрать один корень уравнения (например, методом подстановки целых чисел).
4. Сделать вывод, что в силу монотонности других корней нет.

Пример: Решить уравнение $ \sqrt{x-1} + \sqrt{x+2} = 3 $.

Решение:
Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{x-1} + \sqrt{x+2}$. Область определения этой функции: $x \ge 1$.
Функции $y_1 = \sqrt{x-1}$ и $y_2 = \sqrt{x+2}$ являются возрастающими на своей области определения. Сумма двух возрастающих функций также является возрастающей функцией. Следовательно, функция $f(x)$ строго возрастает на промежутке $[1; +\infty)$.
Это означает, что уравнение $f(x) = 3$ может иметь не более одного корня.
Попробуем подобрать корень. Пусть $x=2$.
$f(2) = \sqrt{2-1} + \sqrt{2+2} = \sqrt{1} + \sqrt{4} = 1 + 2 = 3$.
Значение $x=2$ является корнем уравнения. Так как функция монотонна, этот корень — единственный.

Ответ: Использование монотонности позволяет доказать единственность найденного (часто подбором) корня уравнения.

2. Использование ограниченности функции (метод оценки)

Этот метод применяется к уравнениям вида $f(x) = g(x)$, когда удается показать, что значения одной функции не превосходят некоторого числа $M$, а значения другой — не меньше этого же числа $M$.

Если для всех $x$ из области определения выполняются неравенства $f(x) \le M$ и $g(x) \ge M$, то равенство $f(x) = g(x)$ возможно тогда и только тогда, когда обе части одновременно равны $M$. То есть уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} f(x) = M \\ g(x) = M \end{cases} $$

Пример: Решить уравнение $\cos(2x) = x^2 + 1$.

Решение:
Оценим левую и правую части уравнения.
Для левой части: $f(x) = \cos(2x)$. Мы знаем, что множество значений функции косинус — отрезок $[-1, 1]$. Таким образом, $f(x) \le 1$ для любого $x$.
Для правой части: $g(x) = x^2 + 1$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $x^2+1 \ge 1$. Таким образом, $g(x) \ge 1$ для любого $x$.
Уравнение $f(x) = g(x)$ может иметь решение только в том случае, когда $f(x) = 1$ и $g(x) = 1$ одновременно.
Решим систему: $$ \begin{cases} \cos(2x) = 1 \\ x^2 + 1 = 1 \end{cases} $$ Из второго уравнения получаем $x^2=0$, откуда $x=0$.
Подставим $x=0$ в первое уравнение: $\cos(2 \cdot 0) = \cos(0) = 1$. Равенство верное.
Следовательно, $x=0$ является единственным решением системы и исходного уравнения.

Ответ: Метод оценки (использования ограниченности) позволяет свести решение уравнения к поиску общих решений системы уравнений, что часто проще исходной задачи.

3. Использование области определения функции (ОДЗ)

Иногда область допустимых значений (ОДЗ) переменной в уравнении оказывается пустым множеством, одной точкой или конечным набором точек. В таких случаях решение сводится к проверке этих точек.

Алгоритм решения:
1. Найти ОДЗ уравнения, решив систему неравенств, задающих области определения всех функций в уравнении.
2. Если ОДЗ — пустое множество, уравнение не имеет корней.
3. Если ОДЗ — конечное множество чисел, нужно проверить каждое из них подстановкой в исходное уравнение.

Пример: Решить уравнение $\sqrt{x-3} + \sqrt{1-x} = \log_5(x^2 - 4x + 5)$.

Решение:
Найдем ОДЗ уравнения. Для этого должны выполняться три условия:
1. $x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$
2. $1-x \ge 0 \implies x \le 1$
3. $x^2 - 4x + 5 > 0$. Дискриминант этого квадратного трехчлена $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, трехчлен принимает только положительные значения при любом $x$.

Теперь объединим условия в систему: $$ \begin{cases} x \ge 3 \\ x \le 1 \end{cases} $$ Эта система не имеет решений, так как нет чисел, которые одновременно больше или равны 3 и меньше или равны 1. Следовательно, ОДЗ уравнения — пустое множество.

Ответ: Анализ области определения функции может показать, что уравнение не имеет решений, или сузить поиск корней до нескольких конкретных значений.

4. Использование чётности/нечётности функции

Это свойство редко позволяет полностью решить уравнение, но может упростить поиск корней или анализ их множества.

Пусть уравнение имеет вид $f(x)=g(x)$.
- Если обе функции $f(x)$ и $g(x)$ — чётные (т.е. $f(-x) = f(x)$ и $g(-x)=g(x)$), то если $x_0$ является корнем, то и $-x_0$ также будет корнем. Это же верно для уравнения $h(x)=0$, если $h(x)$ - чётная функция.
- Если обе функции $f(x)$ и $g(x)$ — нечётные (т.е. $f(-x) = -f(x)$ и $g(-x)=-g(x)$), то $x=0$ является потенциальным корнем (если входит в ОДЗ). Если $x_0 \neq 0$ является корнем, то и $-x_0$ также будет корнем.

Пример: Решить уравнение $x^2 = \cos x$.

Решение:
Рассмотрим функции в левой и правой частях: $f(x) = x^2$ и $g(x) = \cos x$.
Обе функции являются чётными:
$f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$
$g(-x) = \cos(-x) = \cos x = g(x)$
Это означает, что если $x_0$ — корень уравнения, то и $-x_0$ — тоже корень. Графики обеих функций симметричны относительно оси $Oy$.
Численными методами можно найти приблизительное положительное решение $x_0 \approx 0.824$. В силу чётности, вторым корнем будет $x_1 = -x_0 \approx -0.824$.

Ответ: Свойство чётности помогает в понимании симметрии множества решений и, найдя один ненулевой корень, автоматически находить и второй.

5. Использование множества значений функции

Этот метод похож на метод оценки, но рассматривает полные множества значений (области значений) функций в левой и правой частях уравнения $f(x) = g(x)$. Если множества значений $E(f)$ и $E(g)$ не пересекаются, то уравнение не имеет решений.

Пример: Решить уравнение $3^{\sin^2 x} = \cos(x)$.

Решение:
Рассмотрим множество значений левой и правой частей.
Левая часть: $f(x) = 3^{\sin^2 x}$. Мы знаем, что $0 \le \sin^2 x \le 1$. Так как функция $y=3^t$ возрастающая, то множество значений $E(f)$ находится в пределах от $3^0$ до $3^1$. То есть $E(f) = [1, 3]$.
Правая часть: $g(x) = \cos(x)$. Множество значений $E(g) = [-1, 1]$.
Пересечением множеств значений является единственное число: $E(f) \cap E(g) = \{1\}$.
Следовательно, равенство возможно только тогда, когда обе части одновременно равны 1. $$ \begin{cases} 3^{\sin^2 x} = 1 \\ \cos(x) = 1 \end{cases} $$ Из второго уравнения $\cos(x)=1$ следует, что $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Проверим, удовлетворяют ли эти значения первому уравнению. Если $x=2\pi n$, то $\sin(x) = \sin(2\pi n) = 0$.
Подставляем в первое уравнение: $3^{\sin^2(2\pi n)} = 3^{0^2} = 3^0 = 1$. Равенство верное.
Таким образом, все значения вида $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ являются решениями.

Ответ: Анализ множеств значений функций в уравнении может доказать отсутствие корней или свести задачу к решению системы уравнений для точек пересечения этих множеств.