Номер 1, страница 241, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Укажите основные методы решения уравнений с одной переменной.

Решение уравнения с одной переменной — это нахождение всех его корней (решений) или доказательство того, что их нет. Выбор метода решения зависит от вида (типа) уравнения. К основным методам можно отнести следующие:

Метод разложения на множители

Суть метода заключается в преобразовании уравнения к виду $f_1(x) \cdot f_2(x) \cdot \dots \cdot f_n(x) = 0$. Такое уравнение равносильно совокупности уравнений $f_1(x) = 0$, $f_2(x) = 0$, ..., $f_n(x) = 0$. Решением исходного уравнения будет объединение решений всех этих уравнений. Для разложения на множители используют вынесение общего множителя за скобки, формулы сокращенного умножения, группировку и другие приемы.

Пример: Решить уравнение $x^3 - 4x = 0$.

Выносим общий множитель $x$ за скобки: $x(x^2 - 4) = 0$.

Используем формулу разности квадратов: $x(x - 2)(x + 2) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x = 0$ или $x - 2 = 0$ или $x + 2 = 0$.

Отсюда получаем корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$.

Ответ: Метод заключается в представлении уравнения в виде произведения нескольких сомножителей, равного нулю, и последующем решении более простых уравнений, получаемых приравниванием каждого из сомножителей к нулю.

Метод введения новой переменной (метод замены)

Этот метод используется, когда в уравнение многократно входит одно и то же выражение с переменной. Это выражение заменяют новой переменной, что позволяет свести исходное уравнение к более простому, стандартному виду. После нахождения значений новой переменной выполняют обратную замену и находят исходную переменную.

Пример: Решить биквадратное уравнение $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$.

Введем новую переменную $t = x^2$. Так как квадрат любого числа неотрицателен, должно выполняться условие $t \ge 0$. Уравнение примет вид:

$t^2 - 5t + 4 = 0$.

Решаем это квадратное уравнение относительно $t$, например, по теореме Виета: $t_1 = 1$, $t_2 = 4$. Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполняем обратную замену:

1) $x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.

2) $x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.

Ответ: Метод заключается в замене некоторого повторяющегося выражения новой переменной для упрощения вида уравнения, решении полученного уравнения и последующем возврате к исходной переменной.

Графический метод

Для решения уравнения $f(x) = g(x)$ строят графики функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ в одной системе координат. Абсциссы (координаты $x$) точек пересечения графиков являются корнями уравнения. Этот метод особенно полезен для определения количества корней и нахождения их приблизительных значений, так как точное построение и нахождение координат точек пересечения может быть затруднительным.

Пример: Определить количество корней уравнения $\log_2(x) = 3 - x$.

Построим графики функций $y = \log_2(x)$ (возрастающая логарифмическая кривая, проходящая через точку $(1,0)$) и $y = 3 - x$ (убывающая прямая). Видно, что графики пересекаются в одной точке, следовательно, уравнение имеет один корень.

Ответ: Метод состоит в построении графиков для левой и правой частей уравнения и нахождении абсцисс точек их пересечения.

Функциональный метод (использование свойств функций)

Метод основан на использовании свойств функций (монотонность, ограниченность, четность, область определения и т.д.), входящих в уравнение. Это позволяет либо упростить решение, либо доказать единственность корня или их отсутствие.

Пример на использование монотонности: Решить уравнение $\log_5(x) + x = 6$.

Функция $f(x) = \log_5(x) + x$ является суммой двух возрастающих функций ($y=\log_5(x)$ и $y=x$) и, следовательно, сама является строго возрастающей на всей своей области определения ($x>0$). Это означает, что каждое своё значение она принимает только один раз. Таким образом, уравнение $f(x)=6$ может иметь не более одного корня. Подбором легко найти, что $x=5$ является корнем: $\log_5(5) + 5 = 1 + 5 = 6$. Следовательно, $x=5$ — единственный корень.

Пример на использование ограниченности: Решить уравнение $\sin(3x) = -x^2 - 1$.

Оценим значения левой и правой частей уравнения. Известно, что область значений функции синус — отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin(3x) \le 1$. Для правой части имеем: $x^2 \ge 0$, откуда $-x^2 \le 0$, и значит $-x^2 - 1 \le -1$. Равенство возможно только в том случае, когда обе части одновременно равны $-1$. Это приводит к системе уравнений: $\sin(3x) = -1$ и $-x^2 - 1 = -1$. Из второго уравнения получаем $x^2=0$, то есть $x=0$. Однако, при подстановке $x=0$ в первое уравнение получаем $\sin(0) = 0 \neq -1$. Таким образом, система не имеет решений, а значит и исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: Метод заключается в применении знаний о свойствах функций (монотонность, ограниченность и др.) для анализа уравнения, что позволяет найти корни или доказать их отсутствие.

Применение стандартных формул и алгоритмов

Для наиболее распространенных типов уравнений существуют готовые формулы и четкие алгоритмы решения, которые являются частными случаями общих методов. Например: линейные уравнения вида $ax+b=0$ решаются путем алгебраических преобразований для выражения $x$; квадратные уравнения $ax^2+bx+c=0$ решаются по известной формуле корней $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$; рациональные уравнения вида $\frac{P(x)}{Q(x)}=0$ сводятся к системе $P(x)=0$ и $Q(x) \neq 0$; иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения решаются с помощью специфических для каждого класса преобразований и формул.

Ответ: Использование стандартных формул и алгоритмов, разработанных для конкретных классов уравнений (линейных, квадратных, тригонометрических и т.д.).