Номер 9, страница 233, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

9. Объясните, почему при переходе от уравнения $f(x) = g(x)$ к уравнению $(f(x))^2 = (g(x))^2$ могут появиться посторонние корни.

Переход от уравнения $f(x) = g(x)$ к уравнению $(f(x))^2 = (g(x))^2$ является не равносильным преобразованием, а переходом к уравнению-следствию. Это означает, что все корни исходного уравнения будут являться корнями нового уравнения, но новое уравнение может иметь дополнительные корни, которые не являются решениями исходного. Такие корни называются посторонними.

Причина появления посторонних корней заключается в том, что операция возведения в квадрат устраняет информацию о знаке выражений. Рассмотрим уравнение $(f(x))^2 = (g(x))^2$. Перенесем все в левую часть:
$(f(x))^2 - (g(x))^2 = 0$
Используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, получим:
$(f(x) - g(x))(f(x) + g(x)) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, это уравнение распадается на совокупность двух уравнений:
1. $f(x) - g(x) = 0$, что равносильно исходному уравнению $f(x) = g(x)$.
2. $f(x) + g(x) = 0$, что равносильно уравнению $f(x) = -g(x)$.

Таким образом, множество решений уравнения $(f(x))^2 = (g(x))^2$ является объединением множеств решений уравнений $f(x) = g(x)$ и $f(x) = -g(x)$. Корни второго уравнения, которые не являются корнями первого, и есть те самые посторонние корни.

Пример:
Рассмотрим иррациональное уравнение $\sqrt{x+7} = x+1$.
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x+7})^2 = (x+1)^2$
$x+7 = x^2 + 2x + 1$
$x^2 + x - 6 = 0$
Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

Теперь необходимо выполнить проверку, подставив найденные корни в исходное уравнение.
1. Проверка для $x=2$:
$\sqrt{2+7} = 2+1$
$\sqrt{9} = 3$
$3 = 3$ (Верно). Значит, $x=2$ является корнем исходного уравнения.

2. Проверка для $x=-3$:
$\sqrt{-3+7} = -3+1$
$\sqrt{4} = -2$
$2 = -2$ (Неверно). Значит, $x=-3$ является посторонним корнем. Он является решением уравнения $\sqrt{x+7} = -(x+1)$, но не исходного.

Ответ: При возведении обеих частей уравнения $f(x) = g(x)$ в квадрат получается уравнение $(f(x))^2 = (g(x))^2$, которое является следствием исходного. Это новое уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $f(x) = g(x)$ и $f(x) = -g(x)$. Корни уравнения $f(x) = -g(x)$, не являющиеся одновременно корнями уравнения $f(x) = g(x)$, и есть посторонние корни.