Номер 6, страница 233, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

6. Что называют областью определения (областью допустимых значений переменной — ОДЗ) уравнения $f(x) = g(x)$?

Областью определения уравнения $f(x) = g(x)$, или, как ее еще называют, областью допустимых значений переменной (ОДЗ), называется множество всех значений переменной $x$, при которых обе части уравнения имеют смысл. Это означает, что для любого значения $x$ из ОДЗ должны быть определены и функция $f(x)$, стоящая в левой части уравнения, и функция $g(x)$, стоящая в правой части.

Для нахождения ОДЗ уравнения необходимо найти область определения каждой из функций $f(x)$ и $g(x)$ по отдельности, а затем найти их общее множество, то есть пересечение. Если обозначить область определения функции $f$ как $D(f)$, а область определения функции $g$ как $D(g)$, то ОДЗ уравнения можно записать в виде: $ОДЗ = D(f) \cap D(g)$.

Определение ОДЗ является критически важным шагом при решении уравнений, содержащих операции, которые определены не для всех действительных чисел. Любой корень, найденный в результате преобразований уравнения, должен быть проверен на принадлежность к ОДЗ. Если корень не входит в ОДЗ, он является посторонним и должен быть исключен из ответа.

Наиболее часто встречающиеся ограничения, которые формируют ОДЗ:

1. Деление на ноль: Если в уравнении присутствует дробное выражение вида $\frac{A(x)}{B(x)}$, то знаменатель не может быть равен нулю: $B(x) \neq 0$.

2. Корень четной степени: Выражение, стоящее под знаком корня четной степени (например, квадратного $\sqrt{\dots}$), должно быть неотрицательным. Для $\sqrt[2n]{A(x)}$ должно выполняться условие $A(x) \geq 0$.

3. Логарифмы: Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным, а основание логарифма — положительным и не равным единице. Для $\log_{a(x)}(B(x))$ должны выполняться условия: $B(x) > 0$, $a(x) > 0$ и $a(x) \neq 1$.

4. Тригонометрические функции: Некоторые тригонометрические функции имеют ограничения. Например, $\text{tg}(x)$ не определен при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, а $\text{ctg}(x)$ не определен при $x = \pi k$, где $k$ — любое целое число.

Таким образом, ОДЗ — это "фильтр", который отсеивает значения переменной, при которых исходное уравнение теряет математический смысл.

Ответ: Областью определения (областью допустимых значений переменной — ОДЗ) уравнения $f(x) = g(x)$ называют множество всех значений переменной $x$, при которых имеют смысл (определены) обе части этого уравнения: и выражение $f(x)$, и выражение $g(x)$.