Номер 6, страница 250, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

нений переменной ОДЗ) неравенства $f(x) \geq g(x)$

Равносильные (или эквивалентные) преобразования неравенства — это такие преобразования, которые заменяют исходное неравенство другим неравенством, имеющим в точности то же самое множество решений. Иногда в процессе преобразований область допустимых значений (ОДЗ) может измениться, но конечное множество решений должно совпасть с множеством решений исходного неравенства.

Основные равносильные преобразования неравенств с одной переменной:

Любой член неравенства можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный. Это преобразование основано на прибавлении или вычитании одного и того же выражения, определенного на ОДЗ исходного неравенства, к обеим его частям.

Формально, неравенство $f(x) > g(x)$ равносильно неравенству $f(x) - g(x) > 0$.

Пример: неравенство $3x^2 + 2x > x^2 + 5$ равносильно неравенству $3x^2 - x^2 + 2x - 5 > 0$, то есть $2x^2 + 2x - 5 > 0$.

Ответ: Перенос любого слагаемого из одной части неравенства в другую с изменением его знака на противоположный.

Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же число или выражение $h(x)$, если известно, что оно строго положительно ($h(x) > 0$) для всех $x$ из области определения неравенства. При этом знак неравенства сохраняется.

Если $h(x) > 0$, то $f(x) > g(x) \Leftrightarrow f(x) \cdot h(x) > g(x) \cdot h(x)$.

Пример: неравенство $\frac{x-3}{x^2+4} > 0$ равносильно неравенству $x-3 > 0$, так как знаменатель $x^2+4$ всегда положителен. Решением будет $x>3$.

Ответ: Умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же положительное число или выражение, сохраняя знак неравенства.

Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же число или выражение $h(x)$, если известно, что оно строго отрицательно ($h(x) < 0$) для всех $x$ из области определения. При этом знак неравенства необходимо изменить на противоположный ( $>$ на $<$, $\ge$ на $\le$ и наоборот).

Если $h(x) < 0$, то $f(x) > g(x) \Leftrightarrow f(x) \cdot h(x) < g(x) \cdot h(x)$.

Пример: неравенство $-5x < 10$ равносильно неравенству $x > -2$ (делим на -5 и меняем знак $<$ на $>$).

Ответ: Умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число или выражение, изменяя знак неравенства на противоположный.

Если к обеим частям неравенства применить одну и ту же строго возрастающую функцию $y=h(z)$, то получится равносильное неравенство того же знака, при условии, что обе части исходного неравенства входят в область определения этой функции.

Неравенство $f(x) > g(x)$ равносильно системе $\begin{cases} h(f(x)) > h(g(x)) \\ f(x) \in D(h) \\ g(x) \in D(h) \end{cases}$, где $D(h)$ — область определения функции $h$.

Частые случаи:

• Возведение в нечетную степень: $f(x)>g(x) \Leftrightarrow (f(x))^{2n+1} > (g(x))^{2n+1}$.
• Логарифмирование по основанию $a>1$: если $f(x)>0$ и $g(x)>0$, то $f(x)>g(x) \Leftrightarrow \log_a(f(x)) > \log_a(g(x))$.
• Потенцирование по основанию $a>1$: $f(x)>g(x) \Leftrightarrow a^{f(x)} > a^{g(x)}$.

Пример: неравенство $2^{x-1} > 8$ можно представить как $2^{x-1} > 2^3$. Так как функция $y=2^z$ является строго возрастающей, это неравенство равносильно неравенству $x-1 > 3$, откуда $x>4$.

Ответ: Замена неравенства $f(x) > g(x)$ на неравенство $h(f(x)) > h(g(x))$, где $h(z)$ — строго возрастающая функция, с обязательным учетом области определения функции $h(z)$.

Если к обеим частям неравенства применить одну и ту же строго убывающую функцию $y=h(z)$, то получится равносильное неравенство с противоположным знаком, при условии, что обе части исходного неравенства входят в область определения этой функции.

Неравенство $f(x) > g(x)$ равносильно системе $\begin{cases} h(f(x)) < h(g(x)) \\ f(x) \in D(h) \\ g(x) \in D(h) \end{cases}$, где $D(h)$ — область определения функции $h$.

Частые случаи:

• Логарифмирование по основанию $0<a<1$: если $f(x)>0$ и $g(x)>0$, то $f(x)>g(x) \Leftrightarrow \log_a(f(x)) < \log_a(g(x))$.
• Потенцирование по основанию $0<a<1$: $f(x)>g(x) \Leftrightarrow a^{f(x)} < a^{g(x)}$.

Пример: неравенство $\log_{0.5}(x) > \log_{0.5}(3)$ равносильно системе $\begin{cases} x < 3 \\ x > 0 \end{cases}$, так как функция $y=\log_{0.5}(z)$ строго убывающая, и ее область определения $z>0$.

Ответ: Замена неравенства $f(x) > g(x)$ на неравенство $h(f(x)) < h(g(x))$, где $h(z)$ — строго убывающая функция, с обязательным учетом области определения функции $h(z)$.

Это преобразование является равносильным только в том случае, когда обе части неравенства неотрицательны. Если $f(x) \ge 0$ и $g(x) \ge 0$, то неравенство $f(x) > g(x)$ равносильно неравенству $(f(x))^{2n} > (g(x))^{2n}$ для любого натурального $n$.

Пример: неравенство $\sqrt{x+5} > 3$ равносильно неравенству $x+5 > 9$, поскольку обе части (арифметический корень и число 3) неотрицательны. При этом нужно учесть ОДЗ корня: $x+5 \ge 0$. Решением будет $x>4$.

Если хотя бы одна из частей может принимать отрицательные значения, это преобразование не является равносильным и может привести к потере или приобретению корней. Например, $-5 < 3$ (верно), но $(-5)^2 < 3^2$ (неверно, так как $25<9$ ложно).

Ответ: Возведение обеих частей неравенства в четную степень является равносильным преобразованием только при условии их неотрицательности.