Номер 1, страница 260, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Опишите способы решения уравнения $|f(x)| = g(x)$.

Уравнение вида $|f(x)| = g(x)$ можно решать несколькими способами. Выбор способа зависит от вида функций $f(x)$ и $g(x)$.

Способ 1: Раскрытие модуля по определению

Этот способ основан на определении абсолютной величины: $|a| = a$, если $a \ge 0$, и $|a| = -a$, если $a < 0$. Решение уравнения сводится к решению двух систем:

1. Если подмодульное выражение неотрицательно, т.е. $f(x) \ge 0$, то уравнение принимает вид $f(x) = g(x)$. Получаем систему: $ \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ f(x) = g(x) \end{cases} $

2. Если подмодульное выражение отрицательно, т.е. $f(x) < 0$, то уравнение принимает вид $-f(x) = g(x)$. Получаем систему: $ \begin{cases} f(x) < 0 \\ -f(x) = g(x) \end{cases} $

Объединение решений этих двух систем дает все решения исходного уравнения. Этот метод универсален, но может приводить к необходимости решать сложные неравенства $f(x) \ge 0$ или $f(x) < 0$.

Ответ: $ \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ f(x) = g(x) \end{cases} \\ \begin{cases} f(x) < 0 \\ f(x) = -g(x) \end{cases} \end{array} \right. $

Способ 2: Переход к равносильной системе

Этот способ является наиболее рациональным в большинстве случаев. Он основан на свойстве равенства с модулем: равенство $|A| = B$ возможно только тогда, когда правая часть $B$ неотрицательна. Если $B \ge 0$, то равенство равносильно совокупности двух уравнений $A=B$ и $A=-B$.

Применительно к нашему уравнению $|f(x)| = g(x)$, оно равносильно системе:

$ \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ \left[ \begin{array}{l} f(x) = g(x) \\ f(x) = -g(x) \end{array} \right. \end{cases} $

Сначала решается совокупность двух уравнений, а затем из найденных корней отбираются те, которые удовлетворяют условию $g(x) \ge 0$. Этот метод избавляет от необходимости решать неравенство с функцией $f(x)$.

Ответ: $ |f(x)| = g(x) \iff \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ \left[ \begin{array}{l} f(x) = g(x) \\ f(x) = -g(x) \end{array} \right. \end{cases} $

Способ 3: Возведение обеих частей уравнения в квадрат

Поскольку левая часть уравнения $|f(x)|$ всегда неотрицательна, для существования решений необходимо, чтобы правая часть $g(x)$ также была неотрицательна. При условии $g(x) \ge 0$ можно возвести обе части уравнения в квадрат, так как они обе неотрицательны. Это преобразование будет равносильным.

$(|f(x)|)^2 = (g(x))^2$

Используя свойство $(|a|)^2 = a^2$, получаем:

$(f(x))^2 = (g(x))^2$

Перенеся все в левую часть и применив формулу разности квадратов, получим:

$(f(x))^2 - (g(x))^2 = 0$

$(f(x) - g(x))(f(x) + g(x)) = 0$

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений $f(x) = g(x)$ и $f(x) = -g(x)$. Найденные корни нужно проверить по условию $g(x) \ge 0$. Таким образом, этот метод приводит к той же системе, что и второй способ. Он особенно удобен, когда функции $f(x)$ и $g(x)$ содержат иррациональности.

Ответ: $ |f(x)| = g(x) \iff \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ (f(x))^2 = (g(x))^2 \end{cases} $

Способ 4: Графический метод

Этот метод заключается в построении в одной системе координат графиков функций $y = |f(x)|$ и $y = g(x)$.

Алгоритм действий:

1. Построить график функции $y = f(x)$.
2. Часть графика $y=f(x)$, которая находится ниже оси абсцисс ($y<0$), симметрично отразить относительно этой оси. Полученный в итоге график является графиком функции $y = |f(x)|$.
3. В этой же системе координат построить график функции $y = g(x)$.
4. Найти абсциссы точек пересечения построенных графиков. Эти абсциссы и будут решениями исходного уравнения.

Этот метод нагляден, позволяет определить количество корней и их примерные значения. Однако для нахождения точных значений корней он подходит только в тех случаях, когда координаты точек пересечения легко определяются из графика.

Ответ: Корнями уравнения являются абсциссы точек пересечения графиков функций $y = |f(x)|$ и $y = g(x)$.