Номер 2, страница 260, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Опишите способы решения неравенства $|f(x)| < g(x)|$.

Для решения неравенства вида $|f(x)| < g(x)$ существует несколько стандартных подходов. Рассмотрим три основных способа.

Способ 1: Равносильный переход к системе неравенств

Этот способ основан на свойстве модуля: неравенство $|a| < b$ справедливо тогда и только тогда, когда одновременно выполняются два условия: $a < b$ и $a > -b$. Это можно записать в виде двойного неравенства $-b < a < b$.

Применяя это свойство к исходному неравенству $|f(x)| < g(x)$, мы заменяем его на равносильную систему неравенств:

Эту систему также можно записать в виде двойного неравенства:

Важно отметить, что из этого двойного неравенства следует, что $g(x)$ должно быть положительным, так как $|f(x)| \ge 0$. Если $-g(x) < g(x)$, то $2g(x) > 0$, а значит $g(x) > 0$. Таким образом, условие $g(x) > 0$ автоматически учитывается при решении этой системы. Решением исходного неравенства будет пересечение решений двух неравенств системы.

Ответ: Неравенство $|f(x)| < g(x)$ равносильно системе неравенств $\begin{cases} f(x) < g(x) \\ f(x) > -g(x) \end{cases}$.

Способ 2: Метод раскрытия модуля по определению (решение по случаям)

Этот способ основан на определении модуля: $|a| = a$, если $a \ge 0$, и $|a| = -a$, если $a < 0$. Мы рассматриваем два случая в зависимости от знака подмодульного выражения $f(x)$.

Случай 1: Подмодульное выражение неотрицательно, то есть $f(x) \ge 0$. В этом случае $|f(x)| = f(x)$, и исходное неравенство принимает вид $f(x) < g(x)$. Решение для этого случая находится из системы:

Пусть множество решений этой системы есть $X_1$.

Случай 2: Подмодульное выражение отрицательно, то есть $f(x) < 0$. В этом случае $|f(x)| = -f(x)$, и исходное неравенство принимает вид $-f(x) < g(x)$, что равносильно $f(x) > -g(x)$. Решение для этого случая находится из системы:

Пусть множество решений этой системы есть $X_2$.

Общее решение исходного неравенства является объединением решений, найденных в обоих случаях: $X = X_1 \cup X_2$.

Ответ: Неравенство $|f(x)| < g(x)$ равносильно совокупности двух систем: $\left[ \begin{gathered} \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ f(x) < g(x) \end{cases} \\ \begin{cases} f(x) < 0 \\ f(x) > -g(x) \end{cases} \end{gathered} \right.$.

Способ 3: Метод возведения в квадрат

Данный метод заключается в возведении обеих частей неравенства в квадрат. Важно помнить, что возводить в квадрат обе части неравенства с сохранением знака можно только тогда, когда обе части неотрицательны.

В неравенстве $|f(x)| < g(x)$ левая часть $|f(x)|$ всегда неотрицательна. Для того чтобы неравенство в принципе могло иметь решения, правая часть $g(x)$ должна быть положительной (так как она должна быть больше некоторой неотрицательной величины). Если $g(x) \le 0$, неравенство решений не имеет.

Поэтому исходное неравенство равносильно системе, в которой мы явно требуем положительность правой части и только после этого возводим в квадрат:

Используя свойство $(|a|)^2 = a^2$, получаем систему:

Второе неравенство системы можно преобразовать, перенеся все в левую часть и применив формулу разности квадратов:

Таким образом, решение исходного неравенства сводится к решению системы:

Этот метод особенно удобен, когда функции $f(x)$ и $g(x)$ таковы, что выражения $f(x)-g(x)$ и $f(x)+g(x)$ получаются достаточно простыми.

Ответ: Неравенство $|f(x)| < g(x)$ равносильно системе $\begin{cases} g(x) > 0 \\ (f(x) - g(x))(f(x) + g(x)) < 0 \end{cases}$.