Номер 3, страница 282, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

3. В чём состоит суть синтетического метода доказательства неравенства?

Синтетический метод доказательства неравенства (также известный как прямой метод или метод "от известного к доказываемому") заключается в построении цепочки логических умозаключений, которая начинается с некоторого заведомо истинного утверждения и заканчивается неравенством, которое требуется доказать.

Суть метода заключается в следующем:

1. Выбор основы. В качестве отправной точки берётся верное неравенство. Чаще всего это одно из следующих утверждений:
   • Квадрат любого действительного числа неотрицателен, т.е. $X^2 \ge 0$.
   • Одно из фундаментальных, ранее доказанных неравенств (например, неравенство о средних, неравенство Коши–Буняковского).
2. Последовательные преобразования. К исходному (опорному) неравенству применяются равносильные преобразования или операции, являющиеся верными логическими следствиями. К таким операциям относятся:
   • Прибавление к обеим частям неравенства одного и того же числа или выражения.
   • Умножение обеих частей на одно и то же положительное число или выражение.
   • Возведение в нечётную степень обеих частей.
   • Возведение в чётную степень обеих неотрицательных частей.
   • Сложение двух или более неравенств одного знака.
3. Получение результата. Цепочка преобразований выстраивается таким образом, чтобы в конечном итоге прийти к доказываемому неравенству. Если каждый шаг в цепочке был верным, то и конечное неравенство является верным.

Рассмотрим применение метода на классическом примере.

Пример: доказать, что для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом: $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$.

Доказательство синтетическим методом:

1. Начнем с очевидно верного утверждения. Поскольку $a \ge 0$ и $b \ge 0$, то их квадратные корни $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$ являются действительными числами. Квадрат разности этих чисел, как и квадрат любого действительного числа, неотрицателен:

$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0$

2. Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 \ge 0$

3. Упростим полученное выражение:

$a - 2\sqrt{ab} + b \ge 0$

4. Прибавим к обеим частям неравенства выражение $2\sqrt{ab}$. Это равносильное преобразование, которое не меняет знака неравенства:

$a + b \ge 2\sqrt{ab}$

5. Разделим обе части неравенства на положительное число 2. Это также является равносильным преобразованием:

$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$

Таким образом, мы начали с верного неравенства и с помощью верных преобразований пришли к неравенству, которое требовалось доказать. Следовательно, оно доказано.

Синтетический метод часто противопоставляют аналитическому, при котором начинают с доказываемого неравенства и путем равносильных преобразований сводят его к очевидно верному. На практике, при поиске решения часто используют анализ, а при формальной записи доказательства — синтез (записывая шаги анализа в обратном порядке).

Ответ: Суть синтетического метода доказательства неравенства заключается в том, чтобы, начав с некоторого бесспорно верного утверждения (опорного неравенства), с помощью цепочки логически корректных и равносильных преобразований прийти к неравенству, которое требуется доказать.