Номер 1, страница 287, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Что называют решением уравнения с двумя переменными?

Уравнение с двумя переменными, например $x$ и $y$, — это равенство, содержащее эти две переменные. Общий вид такого уравнения можно записать как $F(x, y) = 0$ или $F(x, y) = G(x, y)$.

В отличие от уравнения с одной переменной, решением которого является число (или несколько чисел), решением уравнения с двумя переменными называют упорядоченную пару значений этих переменных $(x_0, y_0)$, которая обращает данное уравнение в верное числовое равенство. Это означает, что если подставить число $x_0$ вместо переменной $x$ и число $y_0$ вместо переменной $y$, то получится истинное равенство.

Рассмотрим на примере уравнения $x + 2y = 8$.
- Проверим пару чисел $(4, 2)$. Подставим $x=4$ и $y=2$: $4 + 2 \cdot 2 = 4 + 4 = 8$. Равенство $8=8$ является верным, следовательно, пара $(4, 2)$ — это решение данного уравнения.
- Проверим пару чисел $(2, 4)$. Подставим $x=2$ и $y=4$: $2 + 2 \cdot 4 = 2 + 8 = 10$. Равенство $10=8$ неверное, значит, пара $(2, 4)$ не является решением. Этот пример показывает, что порядок чисел в паре очень важен, поэтому решение — это именно упорядоченная пара.
- Другими решениями этого же уравнения будут, например, пары $(8, 0)$, так как $8 + 2 \cdot 0 = 8$, или $(0, 4)$, так как $0 + 2 \cdot 4 = 8$.

Как правило, уравнение с двумя переменными имеет бесконечное множество решений. Множество всех точек на координатной плоскости, координаты которых являются решениями уравнения, называется графиком этого уравнения.

Ответ: Решением уравнения с двумя переменными называется упорядоченная пара значений переменных, при подстановке которых уравнение обращается в верное числовое равенство.