Страница 287, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Что называют решением уравнения с двумя переменными?

Уравнение с двумя переменными, например $x$ и $y$, — это равенство, содержащее эти две переменные. Общий вид такого уравнения можно записать как $F(x, y) = 0$ или $F(x, y) = G(x, y)$.

В отличие от уравнения с одной переменной, решением которого является число (или несколько чисел), решением уравнения с двумя переменными называют упорядоченную пару значений этих переменных $(x_0, y_0)$, которая обращает данное уравнение в верное числовое равенство. Это означает, что если подставить число $x_0$ вместо переменной $x$ и число $y_0$ вместо переменной $y$, то получится истинное равенство.

Рассмотрим на примере уравнения $x + 2y = 8$.
- Проверим пару чисел $(4, 2)$. Подставим $x=4$ и $y=2$: $4 + 2 \cdot 2 = 4 + 4 = 8$. Равенство $8=8$ является верным, следовательно, пара $(4, 2)$ — это решение данного уравнения.
- Проверим пару чисел $(2, 4)$. Подставим $x=2$ и $y=4$: $2 + 2 \cdot 4 = 2 + 8 = 10$. Равенство $10=8$ неверное, значит, пара $(2, 4)$ не является решением. Этот пример показывает, что порядок чисел в паре очень важен, поэтому решение — это именно упорядоченная пара.
- Другими решениями этого же уравнения будут, например, пары $(8, 0)$, так как $8 + 2 \cdot 0 = 8$, или $(0, 4)$, так как $0 + 2 \cdot 4 = 8$.

Как правило, уравнение с двумя переменными имеет бесконечное множество решений. Множество всех точек на координатной плоскости, координаты которых являются решениями уравнения, называется графиком этого уравнения.

Ответ: Решением уравнения с двумя переменными называется упорядоченная пара значений переменных, при подстановке которых уравнение обращается в верное числовое равенство.

2. Расскажите, как в прямоугольной системе координат $xOy$ вы найдёте решение неравенства:

а) $y > 2x - 3;$

б) $y \le 2x - 3;$

в) $y \ge x^2;$

г) $y < \sqrt{x};$

д) $2x + 3y > 6;$

е) $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 \le 4.$

Для нахождения решения неравенства в прямоугольной системе координат $xOy$ необходимо выполнить следующие шаги:

1. Заменить знак неравенства на знак равенства и построить график получившегося уравнения. Этот график (граничная линия) разделит координатную плоскость на две или более области.
2. Если неравенство строгое ($>$ или $<$), то граница изображается пунктирной линией. Это означает, что точки на самой линии не являются решением неравенства.
3. Если неравенство нестрогое ($\ge$ или $\le$), то граница изображается сплошной линией. Точки на линии в этом случае являются частью решения.
4. Выбрать в любой из областей, на которые граница разделила плоскость, "пробную" точку (удобнее всего брать точку $(0, 0)$, если она не лежит на границе).
5. Подставить координаты пробной точки в исходное неравенство. Если получилось верное числовое неравенство, то решением является та область, в которой лежит пробная точка. Если неверное — то решением является другая область (или другие области).
6. Заштриховать область, являющуюся решением.

а) $y > 2x - 3$

1. Строим граничную линию, заданную уравнением $y = 2x - 3$. Это прямая линия. Для её построения достаточно двух точек. Например, если $x = 0$, то $y = -3$ (точка $(0, -3)$), а если $y = 0$, то $2x=3$ и $x = 1.5$ (точка $(1.5, 0)$).
2. Так как знак неравенства строгий ($>$), прямую чертим пунктирной линией.
3. Возьмем пробную точку, не лежащую на прямой, например, начало координат $(0, 0)$.
4. Подставляем её координаты в исходное неравенство: $0 > 2 \cdot 0 - 3$, что равносильно $0 > -3$. Это верное утверждение.
5. Следовательно, решением неравенства является полуплоскость, содержащая точку $(0, 0)$, то есть область, расположенная выше пунктирной прямой $y = 2x - 3$.

Ответ: Множество точек координатной плоскости, расположенных выше прямой $y = 2x - 3$. Сама прямая в решение не входит.

б) $y \le 2x - 3$

1. Границей области является та же прямая $y = 2x - 3$.
2. Знак неравенства нестрогий ($\le$), поэтому прямую чертим сплошной линией. Это означает, что точки на самой прямой являются частью решения.
3. В качестве пробной точки снова используем $(0, 0)$.
4. Подставляем в неравенство: $0 \le 2 \cdot 0 - 3$, что равносильно $0 \le -3$. Это неверное утверждение.
5. Следовательно, решением является полуплоскость, не содержащая точку $(0, 0)$, то есть область, расположенная ниже прямой $y = 2x - 3$.

Ответ: Множество точек координатной плоскости, расположенных на прямой $y = 2x - 3$ и ниже неё.

в) $y \ge x^2$

1. Строим границу — параболу $y = x^2$. Это стандартная парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.
2. Знак неравенства нестрогий ($\ge$), поэтому параболу рисуем сплошной линией.
3. Пробная точка $(0, 0)$ лежит на границе, поэтому её использовать нельзя. Возьмём точку, не лежащую на параболе, например, $(0, 1)$.
4. Подставляем её координаты в неравенство: $1 \ge 0^2$, что равносильно $1 \ge 0$. Это верное утверждение.
5. Точка $(0, 1)$ находится "внутри" параболы (выше её вершины). Значит, решением является область внутри параболы, включая саму параболу.

Ответ: Множество точек координатной плоскости, расположенных на параболе $y = x^2$ и выше неё (внутри параболы).

г) $y < \sqrt{x}$

1. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ): подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$. Решение будет находиться в правой полуплоскости (включая ось $Oy$).
2. Строим границу — график функции $y = \sqrt{x}$. Это верхняя ветвь параболы $x=y^2$, лежащая в первой координатной четверти, с вершиной в точке $(0, 0)$.
3. Знак неравенства строгий ($<$), поэтому линию графика чертим пунктиром.
4. Возьмем пробную точку из ОДЗ, не лежащую на кривой, например, $(1, 0)$.
5. Подставляем в неравенство: $0 < \sqrt{1}$, что равносильно $0 < 1$. Это верное утверждение.
6. Точка $(1, 0)$ находится под графиком функции. Следовательно, решением является область, удовлетворяющая условию $x \ge 0$ и расположенная ниже пунктирной линии $y = \sqrt{x}$.

Ответ: Множество точек координатной плоскости $(x, y)$ таких, что $x \ge 0$, а координата $y$ меньше, чем $\sqrt{x}$. Граничная кривая $y = \sqrt{x}$ в решение не входит.

д) $2x + 3y > 6$

1. Строим граничную линию $2x + 3y = 6$. Это прямая. Удобно найти точки пересечения с осями: если $x=0$, то $3y=6$, $y=2$ (точка $(0, 2)$); если $y=0$, то $2x=6$, $x=3$ (точка $(3, 0)$).
2. Знак неравенства строгий ($>$), поэтому прямую чертим пунктирной линией.
3. Возьмем пробную точку $(0, 0)$.
4. Подставляем в исходное неравенство: $2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 > 6$, что равносильно $0 > 6$. Это неверное утверждение.
5. Решением является полуплоскость, не содержащая точку $(0, 0)$, то есть область, расположенная выше и правее пунктирной прямой $2x + 3y = 6$.

Ответ: Множество точек координатной плоскости, расположенных выше прямой $2x + 3y = 6$. Сама прямая в решение не входит.

е) $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 \le 4$

1. Граничным уравнением является $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$. Это стандартное уравнение окружности вида $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$.
2. Определяем параметры окружности: центр в точке $(h, k) = (1, 2)$ и радиус $r = \sqrt{4} = 2$.
3. Знак неравенства нестрогий ($\le$), поэтому окружность чертим сплошной линией.
4. Неравенство означает, что расстояние от точки $(x, y)$ до центра $(1, 2)$ должно быть меньше или равно радиусу $2$. Геометрически это означает все точки внутри окружности и на ней.
5. Для проверки можно взять пробную точку, например, центр окружности $(1, 2)$. Подставляем её координаты в неравенство: $(1 - 1)^2 + (2 - 2)^2 \le 4$, что равносильно $0 \le 4$. Это верное утверждение.
6. Следовательно, решением является область, содержащая центр окружности, то есть все точки внутри окружности и на ней.

Ответ: Множество точек, образующих круг с центром в точке $(1, 2)$ и радиусом $2$, включая его границу (окружность).

3. Расскажите, как в прямоугольной системе координат $xOy$ вы найдёте решение системы неравенств:

а) $\begin{cases} x - 2y > 0, \\ 2x + y < 0; \end{cases}$

б) $0 < y - x^2 < 4.$

a)

Чтобы найти решение системы неравенств $\begin{cases} x - 2y > 0, \\ 2x + y < 0; \end{cases}$ в прямоугольной системе координат $xOy$, нужно найти на плоскости область, точки которой удовлетворяют обоим неравенствам одновременно. Для этого выполним следующие шаги:

1. Построение граничных линий. Каждое неравенство определяет полуплоскость. Границей каждой полуплоскости является прямая, уравнение которой получается заменой знака неравенства на знак равенства.

• Для первого неравенства $x - 2y > 0$ граничной линией является прямая $x - 2y = 0$, или $y = \frac{1}{2}x$.
• Для второго неравенства $2x + y < 0$ граничной линией является прямая $2x + y = 0$, или $y = -2x$.

Обе прямые проходят через начало координат $(0,0)$. Для построения прямой $y = \frac{1}{2}x$ можно взять вторую точку, например, $(2, 1)$. Для прямой $y = -2x$ можно взять точку $(1, -2)$. Поскольку оба неравенства строгие (содержат знаки $>$ и $<$), сами прямые не входят в решение, и их следует изобразить на графике пунктирными линиями.

2. Определение нужных полуплоскостей. Для каждого неравенства нужно определить, какая из двух полуплоскостей, на которые его граничная прямая делит всю координатную плоскость, является решением.

• Рассмотрим неравенство $x - 2y > 0$, или $y < \frac{1}{2}x$. Решением являются все точки, лежащие ниже прямой $y = \frac{1}{2}x$. Для проверки можно взять контрольную точку, не лежащую на прямой, например, $(1, 0)$. Подставляем в исходное неравенство: $1 - 2 \cdot 0 > 0$, что равносильно $1 > 0$. Это верное утверждение, значит, полуплоскость, содержащая точку $(1, 0)$, является решением.
• Рассмотрим неравенство $2x + y < 0$, или $y < -2x$. Решением являются все точки, лежащие ниже прямой $y = -2x$. Возьмем ту же контрольную точку $(1, 0)$. Подставляем: $2 \cdot 1 + 0 < 0$, что равносильно $2 < 0$. Это неверно, значит, решением является полуплоскость, не содержащая точку $(1, 0)$.

3. Нахождение пересечения областей. Решением системы является пересечение (общая часть) найденных полуплоскостей. В данном случае это область на плоскости, которая находится одновременно и ниже прямой $y = \frac{1}{2}x$, и ниже прямой $y = -2x$.

Ответ: Решением системы является открытый угол с вершиной в начале координат, ограниченный лучами прямых $y = \frac{1}{2}x$ и $y = -2x$, расположенный в четвертой координатной четверти. Границы угла (лучи) не включаются в множество решений.

б)

Двойное неравенство $0 < y - x^2 < 4$ можно представить в виде системы двух неравенств: $$ \begin{cases} y - x^2 > 0 \\ y - x^2 < 4 \end{cases} $$ Для нахождения решения этой системы в системе координат $xOy$ выполним следующие действия:

1. Преобразование неравенств и построение граничных кривых. Выразим $y$ в каждом неравенстве: $$ \begin{cases} y > x^2 \\ y < x^2 + 4 \end{cases} $$ Граничными кривыми для этих неравенств являются параболы:

• Для первого неравенства — парабола $y = x^2$. Это стандартная парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.
• Для второго неравенства — парабола $y = x^2 + 4$. Эта парабола получается из параболы $y = x^2$ сдвигом на 4 единицы вверх вдоль оси $Oy$. Ее вершина находится в точке $(0, 4)$, ветви также направлены вверх.

Поскольку оба неравенства в системе строгие, точки, лежащие на самих параболах, не являются решениями. Поэтому обе параболы следует изобразить пунктирными линиями.

2. Определение областей решения.

• Неравенство $y > x^2$ описывает множество всех точек, расположенных выше параболы $y = x^2$. Это внутренняя область параболы.
• Неравенство $y < x^2 + 4$ описывает множество всех точек, расположенных ниже параболы $y = x^2 + 4$. Это внешняя область данной параболы.

3. Нахождение пересечения областей. Решением системы является пересечение найденных областей. Это множество точек, которые расположены одновременно выше параболы $y = x^2$ и ниже параболы $y = x^2 + 4$.

Ответ: Решением является область на координатной плоскости, заключенная между параболами $y = x^2$ и $y = x^2 + 4$. Границы этой области (сами параболы) не включаются в множество решений.