Страница 281, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Под «неравенством Коши» могут подразумевать несколько различных, хотя и связанных, фундаментальных математических неравенств. Наиболее известными являются неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом, а также неравенство Коши — Буняковского — Шварца. Ниже приведено описание обоих.

Неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом

Это классическое неравенство, часто называемое просто неравенством Коши или неравенством AM-GM. Оно устанавливает связь между средним арифметическим и средним геометрическим для набора неотрицательных чисел.

Для любого набора из $n$ неотрицательных действительных чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ их среднее арифметическое (СА) всегда больше или равно их среднему геометрическому (СГ).

Формула неравенства:

$\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1 a_2 \dots a_n}$

где:

Среднее арифметическое: $СА = \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n}$

Среднее геометрическое: $СГ = \sqrt[n]{a_1 a_2 \dots a_n}$

Равенство в этом неравенстве достигается тогда и только тогда, когда все числа в наборе равны между собой: $a_1 = a_2 = \dots = a_n$.

Пример для n=2: Для двух неотрицательных чисел $a$ и $b$ неравенство имеет вид $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$. Его легко доказать, исходя из того, что квадрат любого действительного числа неотрицателен: $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0$. Раскрывая скобки, получаем $a - 2\sqrt{ab} + b \ge 0$, откуда $a+b \ge 2\sqrt{ab}$ и, наконец, $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$.

Ответ: Неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом утверждает, что для любого набора из $n$ неотрицательных чисел их среднее арифметическое не меньше их среднего геометрического: $\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1 a_2 \dots a_n}$.

Неравенство Коши — Буняковского — Шварца

Это ещё одно важное неравенство, которое находит широкое применение в линейной алгебре, анализе, теории вероятностей и других разделах математики. Оно связывает скалярное произведение векторов с произведением их длин (норм).

В самой распространённой форме для двух наборов действительных чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ и $b_1, b_2, \dots, b_n$ (которые можно рассматривать как компоненты векторов в $\mathbb{R}^n$) неравенство записывается так:

$(\sum_{i=1}^{n} a_i b_i)^2 \le (\sum_{i=1}^{n} a_i^2) (\sum_{i=1}^{n} b_i^2)$

В векторной форме, если рассмотреть векторы $\vec{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n)$ и $\vec{b} = (b_1, b_2, \dots, b_n)$, неравенство выглядит следующим образом:

$(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 \le |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2$

где $\vec{a} \cdot \vec{b}$ — скалярное произведение векторов, а $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — их евклидовы длины (нормы).

Равенство достигается в том и только в том случае, если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны (линейно зависимы), то есть существует такое число $k$, что $\vec{a} = k \vec{b}$, либо один из векторов является нулевым.

Ответ: Неравенство Коши — Буняковского — Шварца для двух наборов действительных чисел $a_1, \dots, a_n$ и $b_1, \dots, b_n$ утверждает, что квадрат скалярного произведения векторов, составленных из этих чисел, не превосходит произведения квадратов их длин: $(\sum_{i=1}^{n} a_i b_i)^2 \le (\sum_{i=1}^{n} a_i^2) (\sum_{i=1}^{n} b_i^2)$.

2. В чём состоит суть метода доказательства неравенства с помощью определения?

Метод доказательства неравенства с помощью определения основывается на том, как формально определяются понятия "больше" и "меньше" для чисел или математических выражений.

Определение сравнения выражений

• Выражение $A$ больше выражения $B$ (обозначается $A > B$), если их разность $A - B$ является положительным числом, то есть $A - B > 0$.
• Выражение $A$ меньше выражения $B$ (обозначается $A < B$), если их разность $A - B$ является отрицательным числом, то есть $A - B < 0$.
• Для нестрогих неравенств аналогично: $A \ge B$ эквивалентно $A - B \ge 0$, а $A \le B$ эквивалентно $A - B \le 0$.

Суть метода и алгоритм доказательства

Чтобы доказать неравенство, например, $A \ge B$, с помощью определения, необходимо:

1. Составить разность левой и правой частей неравенства: $A - B$.
2. С помощью тождественных преобразований (раскрытие скобок, разложение на множители, выделение полного квадрата и т.п.) упростить эту разность.
3. Доказать, что полученное выражение всегда принимает значения требуемого знака (в данном случае — доказать, что оно неотрицательно, то есть $\ge 0$) для всех допустимых значений входящих в него переменных.
4. На основании определения сделать вывод о справедливости исходного неравенства.

Пример

Доказать, что для любых действительных чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство $a^2 + b^2 \ge 2ab$.

Решение:

1. Составим разность левой и правой частей:

$ (a^2 + b^2) - 2ab $

2. Преобразуем полученное выражение, сгруппировав слагаемые:

$ a^2 - 2ab + b^2 $

Это выражение является формулой сокращенного умножения — квадратом разности:

$ (a - b)^2 $

3. Определим знак результата.

Выражение $(a - b)$ является действительным числом. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Следовательно, $(a - b)^2 \ge 0$ при любых значениях $a$ и $b$.

4. Сделаем вывод.

Мы показали, что разность $(a^2 + b^2) - 2ab$ всегда неотрицательна. По определению это означает, что исходное неравенство $a^2 + b^2 \ge 2ab$ верно.

Ответ: Суть метода заключается в составлении разности левой и правой частей неравенства ($A-B$) и последующем доказательстве того, что знак этой разности (положительный, отрицательный, неотрицательный или неположительный) соответствует знаку доказываемого неравенства ($>$, $<$, $\ge$ или $\le$) при всех допустимых значениях переменных.