Страница 282, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

3. В чём состоит суть синтетического метода доказательства неравенства?

Синтетический метод доказательства неравенства (также известный как прямой метод или метод "от известного к доказываемому") заключается в построении цепочки логических умозаключений, которая начинается с некоторого заведомо истинного утверждения и заканчивается неравенством, которое требуется доказать.

Суть метода заключается в следующем:

1. Выбор основы. В качестве отправной точки берётся верное неравенство. Чаще всего это одно из следующих утверждений:
   • Квадрат любого действительного числа неотрицателен, т.е. $X^2 \ge 0$.
   • Одно из фундаментальных, ранее доказанных неравенств (например, неравенство о средних, неравенство Коши–Буняковского).
2. Последовательные преобразования. К исходному (опорному) неравенству применяются равносильные преобразования или операции, являющиеся верными логическими следствиями. К таким операциям относятся:
   • Прибавление к обеим частям неравенства одного и того же числа или выражения.
   • Умножение обеих частей на одно и то же положительное число или выражение.
   • Возведение в нечётную степень обеих частей.
   • Возведение в чётную степень обеих неотрицательных частей.
   • Сложение двух или более неравенств одного знака.
3. Получение результата. Цепочка преобразований выстраивается таким образом, чтобы в конечном итоге прийти к доказываемому неравенству. Если каждый шаг в цепочке был верным, то и конечное неравенство является верным.

Рассмотрим применение метода на классическом примере.

Пример: доказать, что для любых неотрицательных чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом: $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$.

Доказательство синтетическим методом:

1. Начнем с очевидно верного утверждения. Поскольку $a \ge 0$ и $b \ge 0$, то их квадратные корни $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$ являются действительными числами. Квадрат разности этих чисел, как и квадрат любого действительного числа, неотрицателен:

$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0$

2. Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 \ge 0$

3. Упростим полученное выражение:

$a - 2\sqrt{ab} + b \ge 0$

4. Прибавим к обеим частям неравенства выражение $2\sqrt{ab}$. Это равносильное преобразование, которое не меняет знака неравенства:

$a + b \ge 2\sqrt{ab}$

5. Разделим обе части неравенства на положительное число 2. Это также является равносильным преобразованием:

$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$

Таким образом, мы начали с верного неравенства и с помощью верных преобразований пришли к неравенству, которое требовалось доказать. Следовательно, оно доказано.

Синтетический метод часто противопоставляют аналитическому, при котором начинают с доказываемого неравенства и путем равносильных преобразований сводят его к очевидно верному. На практике, при поиске решения часто используют анализ, а при формальной записи доказательства — синтез (записывая шаги анализа в обратном порядке).

Ответ: Суть синтетического метода доказательства неравенства заключается в том, чтобы, начав с некоторого бесспорно верного утверждения (опорного неравенства), с помощью цепочки логически корректных и равносильных преобразований прийти к неравенству, которое требуется доказать.

4. В чём состоит суть доказательства неравенства методом от противного?

Метод доказательства от противного (или reductio ad absurdum) — это косвенный метод доказательства, который широко применяется в математике, в том числе и для доказательства неравенств. Суть метода заключается в следующем:

1. Шаг 1: Формулировка предположения. Вместо того чтобы доказывать исходное утверждение (неравенство), мы временно предполагаем, что оно ложно. То есть мы формулируем утверждение, которое является противоположным (противным) исходному.
   • Если нужно доказать неравенство $A > B$, мы предполагаем, что $A \le B$.
   • Если нужно доказать неравенство $A \ge B$, мы предполагаем, что $A < B$.
2. Шаг 2: Логические выводы. Исходя из сделанного предположения, мы начинаем выполнять строгие логические рассуждения и тождественные математические преобразования (например, упрощение выражений, использование аксиом и ранее доказанных теорем).
3. Шаг 3: Поиск противоречия. Цель второго шага — прийти к выводу, который является заведомо ложным или противоречит одному из известных фактов. Такое противоречие может проявиться в нескольких формах:
   • Противоречие общеизвестному математическому факту. Например, мы можем прийти к выводу, что $1 < 0$, или что квадрат действительного числа отрицателен ($x^2 < 0$), или что положительное число равно отрицательному.
   • Противоречие условию задачи. Например, если в условии дано, что $x > 0$, а в ходе рассуждений мы приходим к выводу, что $x \le 0$.
   • Внутреннее противоречие. Получение двух взаимоисключающих утверждений, например, $A < C$ и $A > C$ одновременно.
4. Шаг 4: Заключение. Поскольку все наши шаги и преобразования были логически верными, а мы пришли к абсурдному выводу (противоречию), это означает, что единственная ошибка была в самом начале — в нашем первоначальном предположении. Раз предположение о ложности исходного неравенства приводит к противоречию, значит, это предположение неверно. Следовательно, исходное неравенство, которое мы хотели доказать, является истинным.

Пример:

Докажем методом от противного, что для любых двух различных положительных чисел $a$ и $b$ их среднее арифметическое строго больше их среднего геометрического, то есть $\frac{a+b}{2} > \sqrt{ab}$.

Доказательство:

1. Предположение. Допустим, утверждение неверно. Это значит, что существуют такие различные положительные числа $a$ и $b$ ($a \ne b$, $a>0$, $b>0$), для которых выполняется противоположное неравенство: $ \frac{a+b}{2} \le \sqrt{ab} $

2. Преобразования. Поскольку $a$ и $b$ положительны, мы можем выполнять следующие преобразования:

Умножим обе части неравенства на 2: $ a + b \le 2\sqrt{ab} $

Перенесем все члены в левую часть: $ a - 2\sqrt{ab} + b \le 0 $

Заметим, что левая часть является полным квадратом разности: $ (\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 \le 0 $

Свернем выражение: $ (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \le 0 $

3. Противоречие. Мы получили вывод, что $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \le 0$. Однако мы знаем, что квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0$. Единственный способ, которым оба этих неравенства могут выполняться одновременно, — это равенство: $ (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = 0 $

Из этого следует, что $\sqrt{a} - \sqrt{b} = 0$, откуда $\sqrt{a} = \sqrt{b}$. Возведя обе части в квадрат, получаем $a = b$.

Этот вывод ($a=b$) напрямую противоречит исходному условию задачи, где было сказано, что числа $a$ и $b$ — различные ($a \ne b$).

4. Заключение. Так как наше предположение $\frac{a+b}{2} \le \sqrt{ab}$ привело к противоречию с условием задачи, оно является ложным. Следовательно, истинным является исходное утверждение: $\frac{a+b}{2} > \sqrt{ab}$.

Ответ: Суть доказательства неравенства методом от противного состоит в том, чтобы предположить, что доказываемое неравенство неверно (т.е. верен противоположный знак неравенства), и путем логически верных преобразований прийти к выводу, который является заведомо ложным или противоречит условиям задачи. Это противоречие доказывает, что первоначальное предположение было ошибочным, а значит, исходное неравенство — верным.