Номер 2, страница 281, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

2. В чём состоит суть метода доказательства неравенства с помощью определения?

Метод доказательства неравенства с помощью определения основывается на том, как формально определяются понятия "больше" и "меньше" для чисел или математических выражений.

Определение сравнения выражений

• Выражение $A$ больше выражения $B$ (обозначается $A > B$), если их разность $A - B$ является положительным числом, то есть $A - B > 0$.
• Выражение $A$ меньше выражения $B$ (обозначается $A < B$), если их разность $A - B$ является отрицательным числом, то есть $A - B < 0$.
• Для нестрогих неравенств аналогично: $A \ge B$ эквивалентно $A - B \ge 0$, а $A \le B$ эквивалентно $A - B \le 0$.

Суть метода и алгоритм доказательства

Чтобы доказать неравенство, например, $A \ge B$, с помощью определения, необходимо:

1. Составить разность левой и правой частей неравенства: $A - B$.
2. С помощью тождественных преобразований (раскрытие скобок, разложение на множители, выделение полного квадрата и т.п.) упростить эту разность.
3. Доказать, что полученное выражение всегда принимает значения требуемого знака (в данном случае — доказать, что оно неотрицательно, то есть $\ge 0$) для всех допустимых значений входящих в него переменных.
4. На основании определения сделать вывод о справедливости исходного неравенства.

Пример

Доказать, что для любых действительных чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство $a^2 + b^2 \ge 2ab$.

Решение:

1. Составим разность левой и правой частей:

$ (a^2 + b^2) - 2ab $

2. Преобразуем полученное выражение, сгруппировав слагаемые:

$ a^2 - 2ab + b^2 $

Это выражение является формулой сокращенного умножения — квадратом разности:

$ (a - b)^2 $

3. Определим знак результата.

Выражение $(a - b)$ является действительным числом. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Следовательно, $(a - b)^2 \ge 0$ при любых значениях $a$ и $b$.

4. Сделаем вывод.

Мы показали, что разность $(a^2 + b^2) - 2ab$ всегда неотрицательна. По определению это означает, что исходное неравенство $a^2 + b^2 \ge 2ab$ верно.

Ответ: Суть метода заключается в составлении разности левой и правой частей неравенства ($A-B$) и последующем доказательстве того, что знак этой разности (положительный, отрицательный, неотрицательный или неположительный) соответствует знаку доказываемого неравенства ($>$, $<$, $\ge$ или $\le$) при всех допустимых значениях переменных.