Номер 1, страница 269, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Опишите способы решения неравенства $\sqrt{f(x)} < g(x)$.

Решение иррационального неравенства вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ заключается в переходе к равносильной системе неравенств. Этот переход основан на следующих логических шагах.

Во-первых, для существования арифметического квадратного корня $\sqrt{f(x)}$ в области действительных чисел необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Это дает первое обязательное условие, определяющее область допустимых значений (ОДЗ):
$f(x) \ge 0$.

Во-вторых, левая часть неравенства, $\sqrt{f(x)}$, по определению является неотрицательной величиной (то есть $\ge 0$). Для того чтобы неравенство $\sqrt{f(x)} < g(x)$ могло иметь решение, правая часть $g(x)$ должна быть строго больше левой части. Следовательно, $g(x)$ должна быть строго положительной. Отсюда второе обязательное условие:
$g(x) > 0$.
Если это условие не выполняется (то есть $g(x) \le 0$), то неравенство решений не имеет, так как неотрицательное число не может быть меньше отрицательного или равного нулю числа.

При одновременном выполнении двух предыдущих условий ($f(x) \ge 0$ и $g(x) > 0$), обе части исходного неравенства становятся неотрицательными. Это позволяет нам возвести обе части в квадрат, при этом знак неравенства сохранится. Получаем третье условие:
$(\sqrt{f(x)})^2 < (g(x))^2$, что равносильно $f(x) < g(x)^2$.

Таким образом, все значения $x$, удовлетворяющие исходному неравенству, должны удовлетворять всем трем выведенным условиям одновременно. Это приводит нас к следующей системе неравенств:$$\begin{cases}f(x) \ge 0 \\g(x) > 0 \\f(x) < g(x)^2\end{cases}$$Решение данной системы и будет являться решением исходного иррационального неравенства.

Ответ: Неравенство $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе неравенств:$$\begin{cases}f(x) \ge 0 \\g(x) > 0 \\f(x) < g(x)^2\end{cases}$$