Номер 2, страница 287, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Расскажите, как в прямоугольной системе координат $xOy$ вы найдёте решение неравенства:

а) $y > 2x - 3;$

б) $y \le 2x - 3;$

в) $y \ge x^2;$

г) $y < \sqrt{x};$

д) $2x + 3y > 6;$

е) $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 \le 4.$

Для нахождения решения неравенства в прямоугольной системе координат $xOy$ необходимо выполнить следующие шаги:

1. Заменить знак неравенства на знак равенства и построить график получившегося уравнения. Этот график (граничная линия) разделит координатную плоскость на две или более области.
2. Если неравенство строгое ($>$ или $<$), то граница изображается пунктирной линией. Это означает, что точки на самой линии не являются решением неравенства.
3. Если неравенство нестрогое ($\ge$ или $\le$), то граница изображается сплошной линией. Точки на линии в этом случае являются частью решения.
4. Выбрать в любой из областей, на которые граница разделила плоскость, "пробную" точку (удобнее всего брать точку $(0, 0)$, если она не лежит на границе).
5. Подставить координаты пробной точки в исходное неравенство. Если получилось верное числовое неравенство, то решением является та область, в которой лежит пробная точка. Если неверное — то решением является другая область (или другие области).
6. Заштриховать область, являющуюся решением.

а) $y > 2x - 3$

1. Строим граничную линию, заданную уравнением $y = 2x - 3$. Это прямая линия. Для её построения достаточно двух точек. Например, если $x = 0$, то $y = -3$ (точка $(0, -3)$), а если $y = 0$, то $2x=3$ и $x = 1.5$ (точка $(1.5, 0)$).
2. Так как знак неравенства строгий ($>$), прямую чертим пунктирной линией.
3. Возьмем пробную точку, не лежащую на прямой, например, начало координат $(0, 0)$.
4. Подставляем её координаты в исходное неравенство: $0 > 2 \cdot 0 - 3$, что равносильно $0 > -3$. Это верное утверждение.
5. Следовательно, решением неравенства является полуплоскость, содержащая точку $(0, 0)$, то есть область, расположенная выше пунктирной прямой $y = 2x - 3$.

Ответ: Множество точек координатной плоскости, расположенных выше прямой $y = 2x - 3$. Сама прямая в решение не входит.

б) $y \le 2x - 3$

1. Границей области является та же прямая $y = 2x - 3$.
2. Знак неравенства нестрогий ($\le$), поэтому прямую чертим сплошной линией. Это означает, что точки на самой прямой являются частью решения.
3. В качестве пробной точки снова используем $(0, 0)$.
4. Подставляем в неравенство: $0 \le 2 \cdot 0 - 3$, что равносильно $0 \le -3$. Это неверное утверждение.
5. Следовательно, решением является полуплоскость, не содержащая точку $(0, 0)$, то есть область, расположенная ниже прямой $y = 2x - 3$.

Ответ: Множество точек координатной плоскости, расположенных на прямой $y = 2x - 3$ и ниже неё.

в) $y \ge x^2$

1. Строим границу — параболу $y = x^2$. Это стандартная парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.
2. Знак неравенства нестрогий ($\ge$), поэтому параболу рисуем сплошной линией.
3. Пробная точка $(0, 0)$ лежит на границе, поэтому её использовать нельзя. Возьмём точку, не лежащую на параболе, например, $(0, 1)$.
4. Подставляем её координаты в неравенство: $1 \ge 0^2$, что равносильно $1 \ge 0$. Это верное утверждение.
5. Точка $(0, 1)$ находится "внутри" параболы (выше её вершины). Значит, решением является область внутри параболы, включая саму параболу.

Ответ: Множество точек координатной плоскости, расположенных на параболе $y = x^2$ и выше неё (внутри параболы).

г) $y < \sqrt{x}$

1. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ): подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$. Решение будет находиться в правой полуплоскости (включая ось $Oy$).
2. Строим границу — график функции $y = \sqrt{x}$. Это верхняя ветвь параболы $x=y^2$, лежащая в первой координатной четверти, с вершиной в точке $(0, 0)$.
3. Знак неравенства строгий ($<$), поэтому линию графика чертим пунктиром.
4. Возьмем пробную точку из ОДЗ, не лежащую на кривой, например, $(1, 0)$.
5. Подставляем в неравенство: $0 < \sqrt{1}$, что равносильно $0 < 1$. Это верное утверждение.
6. Точка $(1, 0)$ находится под графиком функции. Следовательно, решением является область, удовлетворяющая условию $x \ge 0$ и расположенная ниже пунктирной линии $y = \sqrt{x}$.

Ответ: Множество точек координатной плоскости $(x, y)$ таких, что $x \ge 0$, а координата $y$ меньше, чем $\sqrt{x}$. Граничная кривая $y = \sqrt{x}$ в решение не входит.

д) $2x + 3y > 6$

1. Строим граничную линию $2x + 3y = 6$. Это прямая. Удобно найти точки пересечения с осями: если $x=0$, то $3y=6$, $y=2$ (точка $(0, 2)$); если $y=0$, то $2x=6$, $x=3$ (точка $(3, 0)$).
2. Знак неравенства строгий ($>$), поэтому прямую чертим пунктирной линией.
3. Возьмем пробную точку $(0, 0)$.
4. Подставляем в исходное неравенство: $2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 > 6$, что равносильно $0 > 6$. Это неверное утверждение.
5. Решением является полуплоскость, не содержащая точку $(0, 0)$, то есть область, расположенная выше и правее пунктирной прямой $2x + 3y = 6$.

Ответ: Множество точек координатной плоскости, расположенных выше прямой $2x + 3y = 6$. Сама прямая в решение не входит.

е) $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 \le 4$

1. Граничным уравнением является $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$. Это стандартное уравнение окружности вида $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$.
2. Определяем параметры окружности: центр в точке $(h, k) = (1, 2)$ и радиус $r = \sqrt{4} = 2$.
3. Знак неравенства нестрогий ($\le$), поэтому окружность чертим сплошной линией.
4. Неравенство означает, что расстояние от точки $(x, y)$ до центра $(1, 2)$ должно быть меньше или равно радиусу $2$. Геометрически это означает все точки внутри окружности и на ней.
5. Для проверки можно взять пробную точку, например, центр окружности $(1, 2)$. Подставляем её координаты в неравенство: $(1 - 1)^2 + (2 - 2)^2 \le 4$, что равносильно $0 \le 4$. Это верное утверждение.
6. Следовательно, решением является область, содержащая центр окружности, то есть все точки внутри окружности и на ней.

Ответ: Множество точек, образующих круг с центром в точке $(1, 2)$ и радиусом $2$, включая его границу (окружность).