Номер 8, страница 250, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

8. Что называют системой неравенств с одной переменной? Что называют частным решением системы неравенств? Что называют общим решением (или просто решением) системы неравенств?

Что называют системой неравенств с одной переменной?

Если требуется найти все значения переменной, которые одновременно удовлетворяют двум или нескольким неравенствам с этой переменной, то говорят, что нужно решить систему неравенств. Для обозначения системы неравенств используется фигурная скобка. Каждое из этих неравенств должно содержать одну и ту же переменную.

Например, запись $ \begin{cases} 2x + 5 > 9 \\ x - 1 \le 4 \end{cases} $ является системой неравенств с одной переменной $x$. Задача состоит в том, чтобы найти все значения $x$, при которых оба неравенства обращаются в верные числовые неравенства.

Ответ: Системой неравенств с одной переменной называют два или более неравенства с одной и той же переменной, для которых необходимо найти все общие решения.

Что называют частным решением системы неравенств?

Частным решением системы неравенств с одной переменной называется любое конкретное значение переменной, при подстановке которого каждое из неравенств системы превращается в верное числовое неравенство. Иными словами, это одно число, которое является решением для всех неравенств системы одновременно.

Рассмотрим систему: $ \begin{cases} 3x > 6 \\ x < 5 \end{cases} $

Число $x=4$ является частным решением этой системы, так как при его подстановке оба неравенства выполняются:

• $3 \cdot 4 > 6 \implies 12 > 6$ (верно)
• $4 < 5$ (верно)

А вот число $x=6$ не является частным решением, так как второе неравенство не выполняется: $6 < 5$ (неверно).

Ответ: Частным решением системы неравенств называется значение переменной, которое удовлетворяет каждому неравенству системы.

Что называют общим решением (или просто решением) системы неравенств?

Общим решением (или просто решением) системы неравенств называется множество всех её частных решений. Процесс нахождения этого множества и называется "решением системы неравенств".

Общее решение системы представляет собой пересечение множеств решений каждого из неравенств, входящих в систему. Это решение обычно записывается в виде числового промежутка (например, интервала $(a, b)$, отрезка $[a, b]$, полуинтервала $[a, b)$ или $(a, b]$), их объединения, либо указывается, что решений нет (в этом случае решением является пустое множество, $\emptyset$).

Для системы из предыдущего примера: $ \begin{cases} 3x > 6 \\ x < 5 \end{cases} $ решим каждое неравенство отдельно: $ \begin{cases} x > 2 \\ x < 5 \end{cases} $

Общим решением будет пересечение множеств $x > 2$ и $x < 5$, то есть все числа, которые одновременно больше 2 и меньше 5. Это множество можно записать в виде двойного неравенства $2 < x < 5$ или в виде интервала $(2; 5)$.

Ответ: Общим решением (или просто решением) системы неравенств называется множество всех её частных решений.