Номер 7, страница 188, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

7. В правильном треугольнике случайно выбирают точку. Какова вероятность того, что она окажется ближе к центру вписанной окружности, чем к границе треугольника?

Для решения этой задачи из области геометрической вероятности, нам необходимо найти отношение площади "благоприятной" области к общей площади правильного треугольника. Благоприятная область — это множество точек, которые ближе к центру вписанной окружности, чем к границе треугольника.

1. Определение областей и параметров

Пусть $T$ — наш правильный треугольник, а $S_T$ — его площадь. Пусть $O$ — центр вписанной в треугольник окружности. В правильном треугольнике центр вписанной окружности совпадает с центром описанной окружности, центроидом и ортоцентром. Пусть $r$ — радиус вписанной окружности. Это расстояние от центра $O$ до любой из сторон треугольника. Случайно выбранная точка $M$ находится внутри треугольника $T$. Условие задачи состоит в том, что расстояние от точки $M$ до центра $O$ должно быть меньше, чем расстояние от точки $M$ до границы треугольника (то есть до ближайшей стороны). Обозначим это условие как $d(M, O) < d(M, \text{граница})$.

"Благоприятной" областью $F$ является множество всех точек $M$ в треугольнике $T$, для которых выполняется это условие. Искомая вероятность $P$ равна отношению площадей: $P = \frac{S_F}{S_T}$.

2. Упрощение задачи с помощью симметрии

Правильный треугольник обладает высокой степенью симметрии. Мы можем разделить его на три одинаковых равнобедренных треугольника, соединив центр $O$ с вершинами $A, B, C$. Рассмотрим один из этих треугольников, например, $\triangle OBC$.

Для любой точки $M$, находящейся внутри $\triangle OBC$, ближайшей стороной большого треугольника $T$ будет сторона $BC$. Таким образом, для точек из $\triangle OBC$ условие $d(M, O) < d(M, \text{граница})$ упрощается до $d(M, O) < d(M, BC)$.

Множество точек, для которых $d(M, O) < d(M, BC)$, — это внутренняя область параболы с фокусом в точке $O$ и директрисой, являющейся прямой, содержащей сторону $BC$.

Нам нужно найти площадь части этой параболической области, которая лежит внутри $\triangle OBC$, а затем, умножив на 3, найти общую благоприятную площадь $S_F$.

3. Вычисление площади в полярных координатах

Для вычисления площади удобно использовать полярную систему координат с центром в точке $O$. Пусть точка $N$ — середина стороны $BC$. Тогда отрезок $ON$ перпендикулярен $BC$ и его длина равна радиусу вписанной окружности $r$. Направим полярную ось вдоль $ON$.

В этой системе координат точка $M$ имеет координаты $(\rho, \theta)$, где $\rho = d(M, O)$. Прямая $BC$ задается уравнением $x = r$, или в полярных координатах $\rho \cos\theta = r$. Расстояние от точки $M(\rho, \theta)$ до прямой $BC$ равно $r - \rho \cos\theta$.

Условие $d(M, O) < d(M, BC)$ принимает вид: $\rho < r - \rho \cos\theta$
$\rho (1 + \cos\theta) < r$
$\rho < \frac{r}{1 + \cos\theta}$

Угол $\angle BOC = 120^\circ$. Поскольку полярная ось $ON$ является биссектрисой этого угла, то для $\triangle OBC$ угол $\theta$ изменяется от $-60^\circ$ до $60^\circ$ (или от $-\frac{\pi}{3}$ до $\frac{\pi}{3}$).

Площадь благоприятной области внутри $\triangle OBC$ ($S_{F,OBC}$) вычисляется по формуле площади в полярных координатах: $S = \frac{1}{2} \int_{\theta_1}^{\theta_2} \rho^2(\theta) d\theta$
$S_{F,OBC} = \frac{1}{2} \int_{-\pi/3}^{\pi/3} \left(\frac{r}{1 + \cos\theta}\right)^2 d\theta = \frac{r^2}{2} \int_{-\pi/3}^{\pi/3} \frac{d\theta}{(1 + \cos\theta)^2}$

Используем формулу половинного угла $1 + \cos\theta = 2\cos^2(\frac{\theta}{2})$: $S_{F,OBC} = \frac{r^2}{2} \int_{-\pi/3}^{\pi/3} \frac{d\theta}{(2\cos^2(\frac{\theta}{2}))^2} = \frac{r^2}{8} \int_{-\pi/3}^{\pi/3} \frac{d\theta}{\cos^4(\frac{\theta}{2})} = \frac{r^2}{8} \int_{-\pi/3}^{\pi/3} \sec^4(\frac{\theta}{2}) d\theta$

Сделаем замену $u = \frac{\theta}{2}$, $d\theta = 2du$. Новые пределы интегрирования: от $-\frac{\pi}{6}$ до $\frac{\pi}{6}$. $S_{F,OBC} = \frac{r^2}{8} \int_{-\pi/6}^{\pi/6} \sec^4(u) \cdot 2du = \frac{r^2}{4} \int_{-\pi/6}^{\pi/6} \sec^2(u)(1 + \tan^2(u)) du$

Сделаем еще одну замену $v = \tan(u)$, $dv = \sec^2(u)du$. Новые пределы: $\tan(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$. $S_{F,OBC} = \frac{r^2}{4} \int_{-1/\sqrt{3}}^{1/\sqrt{3}} (1 + v^2) dv = \frac{r^2}{4} \left[ v + \frac{v^3}{3} \right]_{-1/\sqrt{3}}^{1/\sqrt{3}}$
$S_{F,OBC} = \frac{r^2}{4} \left( \left(\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{3(3\sqrt{3})}\right) - \left(-\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{3(3\sqrt{3})}\right) \right) = \frac{r^2}{4} \cdot 2 \left( \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{9\sqrt{3}} \right)$
$S_{F,OBC} = \frac{r^2}{2} \left( \frac{9+1}{9\sqrt{3}} \right) = \frac{r^2}{2} \frac{10}{9\sqrt{3}} = \frac{5r^2}{9\sqrt{3}}$

4. Вычисление вероятности

Общая благоприятная площадь $S_F$ в 3 раза больше: $S_F = 3 \cdot S_{F,OBC} = 3 \cdot \frac{5r^2}{9\sqrt{3}} = \frac{5r^2}{3\sqrt{3}}$

Площадь всего правильного треугольника $S_T$ можно выразить через радиус вписанной окружности $r$. Сторона треугольника $a = 2\sqrt{3}r$. $S_T = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(2\sqrt{3}r)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{12r^2\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}r^2$

Теперь находим искомую вероятность: $P = \frac{S_F}{S_T} = \frac{\frac{5r^2}{3\sqrt{3}}}{3\sqrt{3}r^2} = \frac{5}{3\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3}} = \frac{5}{9 \cdot 3} = \frac{5}{27}$

Ответ: $\frac{5}{27}$