Номер 8, страница 176, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

8. Как вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями $y=0$, $x=3$, $x=5$, $y=f(x)$, где $y=f(x)$ — непрерывная неположительная функция на отрезке $[3; 5]$?

Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком непрерывной функции $y=f(x)$, осью абсцисс ($y=0$) и двумя вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$.

Площадь $S$ такой фигуры, в случае если функция $f(x)$ является непрерывной и неотрицательной ($f(x) \ge 0$) на отрезке $[a; b]$, вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница: $S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$

В условиях данной задачи криволинейная трапеция ограничена линиями $y=f(x)$, $y=0$, $x=3$ и $x=5$. Однако ключевым моментом является то, что функция $y=f(x)$ на отрезке $[3; 5]$ является неположительной, то есть $f(x) \le 0$ для всех $x \in [3; 5]$. Это означает, что график функции расположен ниже оси абсцисс или касается её.

Поскольку площадь фигуры не может быть отрицательной величиной, а значение определенного интеграла $\int_{3}^{5} f(x) \,dx$ для неположительной функции будет неположительным числом (то есть $\le 0$), для корректного вычисления площади необходимо взять абсолютное значение этого интеграла. Для неположительного числа это равносильно взятию интеграла с противоположным знаком.

Геометрически это можно объяснить так: площадь данной фигуры равна площади фигуры, симметричной ей относительно оси $Ox$. Эта симметричная фигура будет ограничена графиком функции $y = -f(x)$. Поскольку $f(x) \le 0$, то функция $-f(x)$ будет неотрицательной ($-f(x) \ge 0$), и её площадь можно вычислить по стандартной формуле: $S = \int_{3}^{5} (-f(x)) \,dx = - \int_{3}^{5} f(x) \,dx$

Следовательно, для вычисления площади криволинейной трапеции, график функции которой лежит ниже оси абсцисс, необходимо вычислить определенный интеграл от этой функции по соответствующему отрезку и взять полученное значение со знаком минус.

Ответ: Площадь данной криволинейной трапеции вычисляется по формуле $S = - \int_{3}^{5} f(x) \,dx$.