Номер 2, страница 178, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Применения интегралов в различных областях знаний.

Интегральное исчисление является мощным математическим аппаратом, который находит применение в самых разных сферах науки и техники. Основная идея интеграла — нахождение целого по его частям, или, говоря более формально, суммирование бесконечно малых величин. Это позволяет решать широкий круг задач, от вычисления геометрических характеристик до моделирования сложных динамических процессов.

Геометрия

Исторически первые применения интегралов были связаны с решением геометрических задач. С помощью определенного интеграла можно вычислять:

• Площадь плоской фигуры. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$ (где $f(x) \ge 0$), осью абсцисс и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле: $S = \int_{a}^{b} f(x) dx$.

• Объем тела. Объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс, находится по формуле: $V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$.

• Длину дуги кривой. Длина дуги кривой, заданной функцией $y=f(x)$ на отрезке $[a, b]$, вычисляется как: $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx$.

Ответ: В геометрии интегралы являются основным инструментом для точного вычисления площадей фигур сложной формы, объемов тел вращения и длин кривых.

Физика

В физике, где многие величины являются производными от других, интегралы используются для обратной операции — нахождения исходной величины.

• Механика. Если известна зависимость скорости от времени $v(t)$, то путь $S$, пройденный телом за промежуток времени от $t_1$ до $t_2$, равен: $S = \int_{t_1}^{t_2} v(t) dt$. Работа $A$, совершаемая переменной силой $F(x)$ при перемещении тела из точки $a$ в точку $b$, вычисляется как: $A = \int_{a}^{b} F(x) dx$. Также интегралы используются для нахождения центра масс тел с неоднородной плотностью, например, для стержня: $x_c = \frac{\int x dm}{\int dm}$.

• Термодинамика. Работа $W$, совершаемая газом при изменении его объема от $V_1$ до $V_2$ под давлением $P(V)$, равна: $W = \int_{V_1}^{V_2} P(V) dV$.

• Электродинамика. Фундаментальные законы, такие как теорема Гаусса для электрического поля, формулируются в интегральной форме. Поток вектора напряженности $\vec{E}$ через замкнутую поверхность $S$ связан с полным зарядом $Q_{внутр}$ внутри нее: $\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{внутр}}{\epsilon_0}$.

Ответ: В физике интегралы позволяют вычислять путь, работу, давление жидкости, характеристики электромагнитных полей и другие физические величины, которые определяются как сумма или накопление других, изменяющихся величин.

Экономика

В экономической теории интегралы применяются для перехода от предельных (маржинальных) показателей к общим (совокупным).

• Совокупные и предельные величины. Зная функцию предельных издержек $MC(Q)$, можно найти совокупные издержки $TC(Q)$ производства $Q$ единиц продукции: $TC(Q) = \int MC(Q) dQ + FC$, где $FC$ — постоянные издержки. Аналогично, совокупный доход $TR(Q)$ находится интегрированием предельного дохода $MR(Q)$.

• Излишек потребителя и производителя. Эти понятия характеризуют выгоду участников рынка. Излишек потребителя (CS) — это площадь фигуры между кривой спроса $D(Q)$ и линией рыночной цены $P_e$. Излишек производителя (PS) — это площадь между линией цены $P_e$ и кривой предложения $S(Q)$. Они вычисляются как: $CS = \int_{0}^{Q_e} D(Q) dQ - P_e Q_e$ и $PS = P_e Q_e - \int_{0}^{Q_e} S(Q) dQ$, где $Q_e$ — равновесный объем.

Ответ: В экономике интегралы используются для анализа затрат и доходов, а также для расчета и оценки благосостояния потребителей и производителей на рынке.

Теория вероятностей и статистика

Интегральное исчисление является основой для работы с непрерывными случайными величинами.

• Функция плотности вероятности. Для непрерывной случайной величины $X$ с функцией плотности вероятности $f(x)$ вероятность того, что $X$ примет значение в интервале $[a, b]$, равна площади под графиком плотности на этом интервале: $P(a \le X \le b) = \int_{a}^{b} f(x) dx$.

• Числовые характеристики. Математическое ожидание (среднее значение) непрерывной случайной величины вычисляется по формуле: $E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$. Аналогично, с помощью интегралов вычисляются дисперсия, моменты и другие характеристики распределения.

Ответ: В теории вероятностей интегралы необходимы для определения вероятностей и нахождения числовых характеристик (таких как среднее значение) для непрерывных случайных величин.

Биология и медицина

Интегралы помогают моделировать и количественно описывать биологические процессы.

• Динамика популяций. Если известна скорость роста популяции $r(t)$, то изменение ее численности за время от $t_1$ до $t_2$ можно найти, проинтегрировав эту скорость: $\Delta N = \int_{t_1}^{t_2} r(t) dt$.

• Фармакокинетика. В медицине для оценки общего воздействия лекарства на организм вычисляют "площадь под кривой концентрация-время" (AUC). Если $C(t)$ — концентрация препарата в крови в момент времени $t$, то $AUC = \int_{0}^{\infty} C(t) dt$. Этот показатель важен для определения биодоступности и дозировки лекарств.

• Кровоток. Общий объемный расход крови $Q$ в сосуде можно рассчитать, проинтегрировав профиль скорости кровотока $v(r)$ по поперечному сечению сосуда: $Q = \int_{0}^{R} 2\pi r v(r) dr$, где $R$ — радиус сосуда.

Ответ: В биологии и медицине интегралы применяются для моделирования роста популяций, расчета скорости физиологических процессов (например, кровотока) и для количественной оценки действия лекарственных средств.