Номер 5, страница 164, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

5. Напишите общий вид всех первообразных для функции $y = f(x)$, если известно, что $F(x)$ — одна из первообразных.

По определению, функция $F(x)$ называется первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.

В условии задачи дано, что $F(x)$ — одна из первообразных для функции $y=f(x)$. Это означает, что $F'(x) = f(x)$.

Предположим, что существует другая первообразная для $f(x)$, назовём её $G(x)$. По определению, для неё также должно выполняться равенство $G'(x) = f(x)$.

Теперь рассмотрим разность этих двух первообразных: $G(x) - F(x)$. Найдём производную этой разности, используя правило дифференцирования разности двух функций:

$(G(x) - F(x))' = G'(x) - F'(x)$

Поскольку мы знаем, что $G'(x) = f(x)$ и $F'(x) = f(x)$, мы можем подставить эти значения в полученное выражение:

$(G(x) - F(x))' = f(x) - f(x) = 0$

Из основного свойства первообразной (которое является следствием теоремы Лагранжа) известно, что если производная некоторой функции равна нулю на всём промежутке, то эта функция является константой на этом промежутке. Обозначим эту постоянную величину буквой $C$.

Таким образом, мы получаем, что $G(x) - F(x) = C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Из этого равенства можно выразить $G(x)$:

$G(x) = F(x) + C$

Это означает, что любая первообразная для функции $f(x)$ отличается от одной известной первообразной $F(x)$ на некоторую константу. Следовательно, выражение $F(x) + C$ описывает всё множество первообразных для функции $f(x)$.

Ответ: Общий вид всех первообразных для функции $y=f(x)$ есть $F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.