Номер 28.39, страница 178, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.39, страница 178.

28.39. a) $(2^x - 3)(3x - 4) \le 0$;

б) $(3\log_3 x - 1)(3x - 4) \ge 0$.

а) Решим неравенство $(2^x - 3)(3x - 4) \le 0$ методом интервалов.

1. Найдем нули каждого множителя. Для этого приравняем их к нулю:

$2^x - 3 = 0 \implies 2^x = 3 \implies x_1 = \log_2 3$.

$3x - 4 = 0 \implies 3x = 4 \implies x_2 = 4/3$.

2. Сравним полученные корни $\log_2 3$ и $4/3$. Сравним значения $2^{\log_2 3} = 3$ и $2^{4/3} = \sqrt[3]{2^4} = \sqrt[3]{16}$. Так как $3 = \sqrt[3]{27}$ и $27 > 16$, то $3 > \sqrt[3]{16}$. Поскольку функция $y=2^x$ является возрастающей, из $3 > 2^{4/3}$ следует, что $\log_2 3 > 4/3$.

3. Отметим корни на числовой оси в порядке возрастания: $4/3$ и $\log_2 3$. Они разбивают ось на три интервала. Определим знак произведения $(2^x - 3)(3x - 4)$ в каждом интервале. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например $x=2$ (т.к. $\log_2 3 \approx 1.58$). Получим $(2^2-3)(3 \cdot 2 - 4) = 1 \cdot 2 = 2 > 0$. Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в интервалах чередуются. Схема знаков: $(+), [4/3], (-), [\log_2 3], (+)$.

4. Неравенство имеет вид $\le 0$, поэтому искомым решением будет промежуток со знаком "минус", включая его концы.

Ответ: $[4/3; \log_2 3]$.

б) Решим неравенство $(3\log_3 x - 1)(3x - 4) \ge 0$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x > 0$.

2. На ОДЗ решим неравенство методом интервалов. Найдем нули множителей:

$3\log_3 x - 1 = 0 \implies \log_3 x = 1/3 \implies x_1 = 3^{1/3} = \sqrt[3]{3}$.

$3x - 4 = 0 \implies 3x = 4 \implies x_2 = 4/3$.

3. Сравним корни $\sqrt[3]{3}$ и $4/3$. Возведем оба положительных числа в куб: $(\sqrt[3]{3})^3 = 3$ и $(4/3)^3 = 64/27 = 2\frac{10}{27}$. Так как $3 > 2\frac{10}{27}$, то $\sqrt[3]{3} > 4/3$.

4. Отметим ОДЗ и корни на числовой оси: $(0, ..., 4/3, ..., \sqrt[3]{3}, ...)$. Они разбивают ОДЗ на три интервала: $(0; 4/3)$, $(4/3; \sqrt[3]{3})$ и $(\sqrt[3]{3}; +\infty)$. Определим знак произведения на интервалах. Для $x > \sqrt[3]{3}$ (например, $x=3$), оба множителя положительны, произведение положительно. Так как кратность корней нечетная, знаки чередуются. Схема знаков на ОДЗ: $(0), (+), [4/3], (-), [\sqrt[3]{3}], (+)$.

5. Неравенство имеет вид $\ge 0$, поэтому решением будет объединение промежутков со знаком "плюс", включая концы, принадлежащие ОДЗ.

Ответ: $(0; 4/3] \cup [\sqrt[3]{3}; +\infty)$.