Номер 29.20, страница 183, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.20, страница 183.

29.20. Решите уравнение:

а) $|\frac{x}{x + 2}| + |x^2 - 2x - 8| = \frac{x}{x + 2};$

б) $|\frac{\sin 2x}{x + 4}| + |x^2 - 5x - 24| = -\frac{\sin 2x}{x + 4};$

в) $|\frac{x}{x - 1}| + |\sin 2\pi x + \sin \pi x| = \frac{x}{x - 1};$

г) $|\frac{x}{\sin x}| + |3 \sin x - \sin 3x| = \frac{x}{\sin x}.$

Все уравнения в данной задаче имеют вид $|A| + |B| = A$ или $|A| + |B| = -A$.

Уравнение вида $|A| + |B| = A$ равносильно системе $\begin{cases} A \ge 0 \\ B = 0 \end{cases}$, так как из свойства модуля $|A| \ge A$ и $|B| \ge 0$, поэтому равенство возможно только когда $|A|=A$ (что означает $A \ge 0$) и $|B|=0$ (что означает $B=0$).

Уравнение вида $|A| + |B| = -A$ равносильно системе $\begin{cases} A \le 0 \\ B = 0 \end{cases}$, так как из свойства модуля $|A| \ge -A$ и $|B| \ge 0$, поэтому равенство возможно только когда $|A|=-A$ (что означает $A \le 0$) и $|B|=0$ (что означает $B=0$).

При решении необходимо также учитывать область допустимых значений (ОДЗ) для выражений.

а) $\left|\frac{x}{x + 2}\right| + |x^2 - 2x - 8| = \frac{x}{x + 2}$

Это уравнение вида $|A| + |B| = A$, где $A = \frac{x}{x + 2}$ и $B = x^2 - 2x - 8$. Оно равносильно системе: $$ \begin{cases} \frac{x}{x + 2} \ge 0 \\ x^2 - 2x - 8 = 0 \end{cases} $$ Сначала решим второе уравнение: $x^2 - 2x - 8 = 0$. По теореме Виета корни уравнения $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.

Теперь проверим, удовлетворяют ли эти корни первому условию системы $\frac{x}{x + 2} \ge 0$. Также учтем ОДЗ: $x + 2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$.

Для $x_1 = 4$: $\frac{4}{4 + 2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. $\frac{2}{3} \ge 0$, это верное неравенство. Следовательно, $x = 4$ является решением.

Для $x_2 = -2$: Этот корень не входит в ОДЗ, так как знаменатель дроби обращается в ноль. Следовательно, $x = -2$ не является решением.

Ответ: $x = 4$.

б) $\left|\frac{\sin 2x}{x + 4}\right| + |x^2 - 5x - 24| = -\frac{\sin 2x}{x + 4}$

Это уравнение вида $|A| + |B| = -A$, где $A = \frac{\sin 2x}{x + 4}$ и $B = x^2 - 5x - 24$. Оно равносильно системе: $$ \begin{cases} \frac{\sin 2x}{x + 4} \le 0 \\ x^2 - 5x - 24 = 0 \end{cases} $$ Сначала решим второе уравнение: $x^2 - 5x - 24 = 0$. Используя формулу для корней квадратного уравнения: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121 = 11^2$. $x_{1,2} = \frac{5 \pm 11}{2}$. $x_1 = \frac{5 + 11}{2} = 8$. $x_2 = \frac{5 - 11}{2} = -3$.

Теперь проверим, удовлетворяют ли эти корни первому условию системы $\frac{\sin 2x}{x + 4} \le 0$. ОДЗ: $x + 4 \neq 0$, то есть $x \neq -4$. Оба корня входят в ОДЗ.

Для $x_1 = 8$: $\frac{\sin(2 \cdot 8)}{8 + 4} = \frac{\sin 16}{12}$. Оценим знак $\sin 16$. Так как $5\pi \approx 5 \cdot 3.14 = 15.7$ и $5.5\pi \approx 5.5 \cdot 3.14 = 17.27$, то $5\pi < 16 < 5.5\pi$. Угол 16 радиан находится в III четверти, где синус отрицателен, т.е. $\sin 16 < 0$. Знаменатель $12 > 0$. Следовательно, $\frac{\sin 16}{12} < 0$. Условие выполнено, $x = 8$ является решением.

Для $x_2 = -3$: $\frac{\sin(2 \cdot (-3))}{-3 + 4} = \frac{\sin(-6)}{1} = -\sin 6$. Оценим знак $\sin 6$. Так как $1.5\pi \approx 1.5 \cdot 3.14 = 4.71$ и $2\pi \approx 2 \cdot 3.14 = 6.28$, то $1.5\pi < 6 < 2\pi$. Угол 6 радиан находится в IV четверти, где синус отрицателен, т.е. $\sin 6 < 0$. Тогда $-\sin 6 > 0$. Условие $\frac{\sin(-6)}{1} \le 0$ не выполнено. Следовательно, $x = -3$ не является решением.

Ответ: $x = 8$.

в) $\left|\frac{x}{x - 1}\right| + |\sin 2\pi x + \sin \pi x| = \frac{x}{x - 1}$

Это уравнение вида $|A| + |B| = A$, где $A = \frac{x}{x - 1}$ и $B = \sin 2\pi x + \sin \pi x$. Оно равносильно системе: $$ \begin{cases} \frac{x}{x - 1} \ge 0 \\ \sin 2\pi x + \sin \pi x = 0 \end{cases} $$ ОДЗ: $x - 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.

Решим первое неравенство $\frac{x}{x - 1} \ge 0$ методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $x=0$ и $x=1$. Решением неравенства является объединение промежутков $(-\infty, 0] \cup (1, +\infty)$.

Решим второе уравнение: $\sin 2\pi x + \sin \pi x = 0$. Используем формулу синуса двойного угла $2\sin \pi x \cos \pi x + \sin \pi x = 0$. Вынесем общий множитель: $\sin \pi x (2\cos \pi x + 1) = 0$. Получаем два случая: 1) $\sin \pi x = 0 \Rightarrow \pi x = k\pi \Rightarrow x = k$, где $k \in \mathbb{Z}$. 2) $2\cos \pi x + 1 = 0 \Rightarrow \cos \pi x = -\frac{1}{2} \Rightarrow \pi x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2n\pi \Rightarrow x = \pm \frac{2}{3} + 2n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь выберем те решения, которые удовлетворяют условию $x \in (-\infty, 0] \cup (1, +\infty)$.

Для серии $x = k, k \in \mathbb{Z}$: - Если $k \le 0$, то $x \in (-\infty, 0]$, условие выполнено. - Если $k = 1$, то $x = 1$, что не входит в ОДЗ. - Если $k \ge 2$, то $x \in (1, +\infty)$, условие выполнено. Таким образом, подходят все целые числа, кроме 1: $x \in \mathbb{Z} \setminus \{1\}$.

Для серии $x = \frac{2}{3} + 2n, n \in \mathbb{Z}$: - Если $n = 0$, $x = 2/3$. $0 < 2/3 < 1$, не подходит. - Если $n \ge 1$, то $x \ge 2/3 + 2 = 8/3 > 1$, подходит. - Если $n \le -1$, то $x \le 2/3 - 2 = -4/3 \le 0$, подходит. Таким образом, подходят $x = \frac{2}{3} + 2n$ для всех $n \in \mathbb{Z}$, кроме $n=0$.

Для серии $x = -\frac{2}{3} + 2n, n \in \mathbb{Z}$: - Если $n = 0$, $x = -2/3 \le 0$, подходит. - Если $n \ge 1$, то $x \ge -2/3 + 2 = 4/3 > 1$, подходит. - Если $n \le -1$, то $x \le -2/3 - 2 = -8/3 \le 0$, подходит. Таким образом, подходят $x = -\frac{2}{3} + 2n$ для всех $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x=k, k \in \mathbb{Z}, k \ne 1$; $x = -\frac{2}{3} + 2n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{2}{3} + 2n, n \in \mathbb{Z}, n \ne 0$.

г) $\left|\frac{x}{\sin x}\right| + |3 \sin x - \sin 3x| = \frac{x}{\sin x}$

Это уравнение вида $|A| + |B| = A$, где $A = \frac{x}{\sin x}$ и $B = 3 \sin x - \sin 3x$. Оно равносильно системе: $$ \begin{cases} \frac{x}{\sin x} \ge 0 \\ 3 \sin x - \sin 3x = 0 \end{cases} $$ Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется знаменателем: $\sin x \neq 0$, что означает $x \neq k\pi$ для любого $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим второе уравнение системы: $3 \sin x - \sin 3x = 0$. Воспользуемся формулой синуса тройного угла: $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$. Подставим в уравнение: $3 \sin x - (3\sin x - 4\sin^3 x) = 0$ $3 \sin x - 3\sin x + 4\sin^3 x = 0$ $4\sin^3 x = 0$ $\sin x = 0$

Решениями уравнения $\sin x = 0$ являются $x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$. Однако, эти значения не входят в ОДЗ исходного уравнения, так как при этих значениях $x$ знаменатель $\sin x$ обращается в ноль. Таким образом, система не имеет решений.

Ответ: решений нет (пустое множество, $\varnothing$).