Номер 29.22, страница 183, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.22, страница 183.

29.22. Решите уравнение:

а) $|x^2 + 2x - 3| + |-x^2 + 2x + 8| = 4x + 5;$

б) $|\frac{x^2}{x - 1} - x| + |\frac{x}{x - 1} - 2| = \frac{x^2}{x - 1} + \frac{x}{x - 1} - x - 2;$

в) $|x^3 - 4x| + |5x^2 - x^3| = 5x^2 - 4x;$

г) $|\frac{x + 1}{x} + 4| + |\frac{4 - x}{x} - 3x| = 4 - 3x + \frac{5}{x}.$

а) $|x^2 + 2x - 3| + |-x^2 + 2x + 8| = 4x + 5$

Данное уравнение имеет вид $|a| + |b| = c$. Заметим, что сумма выражений под модулями равна правой части уравнения.

Пусть $a = x^2 + 2x - 3$ и $b = -x^2 + 2x + 8$.

Тогда $a + b = (x^2 + 2x - 3) + (-x^2 + 2x + 8) = 4x + 5$.

Уравнение принимает вид $|a| + |b| = a + b$.

Это равенство верно тогда и только тогда, когда оба выражения под знаком модуля неотрицательны, то есть $a \geq 0$ и $b \geq 0$.

Получаем систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 + 2x - 3 \geq 0 \\ -x^2 + 2x + 8 \geq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 + 2x - 3 \geq 0$.

Найдём корни уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -3] \cup [1, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $-x^2 + 2x + 8 \geq 0$. Умножим на -1, изменив знак неравенства: $x^2 - 2x - 8 \leq 0$.

Найдём корни уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $x^2 - 2x - 8 \leq 0$ выполняется между корнями, то есть при $x \in [-2, 4]$.

Теперь найдём пересечение решений системы неравенств:

$((-\infty, -3] \cup [1, +\infty)) \cap [-2, 4]$.

Пересечение даёт промежуток $[1, 4]$.

Ответ: $x \in [1, 4]$.

б) $|\frac{x^2}{x - 1} - x| + |\frac{x}{x - 1} - 2| = \frac{x^2}{x - 1} + \frac{x}{x - 1} - x - 2$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x - 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.

Пусть $a = \frac{x^2}{x - 1} - x$ и $b = \frac{x}{x - 1} - 2$.

Проверим сумму $a+b$:

$a + b = (\frac{x^2}{x - 1} - x) + (\frac{x}{x - 1} - 2) = \frac{x^2}{x - 1} + \frac{x}{x - 1} - x - 2$.

Сумма $a+b$ в точности равна правой части уравнения. Таким образом, уравнение имеет вид $|a| + |b| = a + b$.

Это равенство выполняется при условии, что $a \geq 0$ и $b \geq 0$.

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} \frac{x^2}{x - 1} - x \geq 0 \\ \frac{x}{x - 1} - 2 \geq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $\frac{x^2 - x(x - 1)}{x - 1} \geq 0 \Rightarrow \frac{x^2 - x^2 + x}{x - 1} \geq 0 \Rightarrow \frac{x}{x - 1} \geq 0$.

Методом интервалов находим, что решение: $x \in (-\infty, 0] \cup (1, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $\frac{x - 2(x - 1)}{x - 1} \geq 0 \Rightarrow \frac{x - 2x + 2}{x - 1} \geq 0 \Rightarrow \frac{2 - x}{x - 1} \geq 0$.

Методом интервалов находим, что решение: $x \in (1, 2]$.

Найдём пересечение решений системы:

$((-\infty, 0] \cup (1, +\infty)) \cap (1, 2]$.

Пересечением является промежуток $(1, 2]$.

Ответ: $x \in (1, 2]$.

в) $|x^3 - 4x| + |5x^2 - x^3| = 5x^2 - 4x$

Пусть $a = x^3 - 4x$ и $b = 5x^2 - x^3$.

Найдём их сумму: $a + b = (x^3 - 4x) + (5x^2 - x^3) = 5x^2 - 4x$.

Уравнение снова принимает вид $|a| + |b| = a + b$, что эквивалентно системе неравенств $a \geq 0$ и $b \geq 0$.

$\begin{cases} x^3 - 4x \geq 0 \\ 5x^2 - x^3 \geq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x(x^2 - 4) \geq 0 \Rightarrow x(x - 2)(x + 2) \geq 0$.

Методом интервалов получаем решение: $x \in [-2, 0] \cup [2, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2(5 - x) \geq 0$.

Поскольку $x^2 \geq 0$ для любого $x$, неравенство сводится к $5 - x \geq 0$ (и отдельно рассматривается случай $x=0$, который уже удовлетворяет $x^2=0$).

Из $5 - x \geq 0$ следует $x \leq 5$. Таким образом, решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 5]$.

Найдём пересечение решений системы:

$([-2, 0] \cup [2, +\infty)) \cap (-\infty, 5]$.

Пересечение первого промежутка: $[-2, 0] \cap (-\infty, 5] = [-2, 0]$.

Пересечение второго промежутка: $[2, +\infty) \cap (-\infty, 5] = [2, 5]$.

Объединяя результаты, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in [-2, 0] \cup [2, 5]$.

г) $|\frac{x + 1}{x} + 4| + |\frac{4 - x}{x} - 3x| = 4 - 3x + \frac{5}{x}$

ОДЗ: $x \neq 0$.

Преобразуем выражения под модулями и правую часть.

Пусть $a = \frac{x + 1}{x} + 4 = \frac{x}{x} + \frac{1}{x} + 4 = 1 + \frac{1}{x} + 4 = 5 + \frac{1}{x}$.

Пусть $b = \frac{4 - x}{x} - 3x = \frac{4}{x} - \frac{x}{x} - 3x = \frac{4}{x} - 1 - 3x$.

Найдём сумму $a + b$: $a + b = (5 + \frac{1}{x}) + (\frac{4}{x} - 1 - 3x) = 4 + \frac{5}{x} - 3x$.

Правая часть уравнения $4 - 3x + \frac{5}{x}$ совпадает с $a+b$.

Следовательно, уравнение имеет вид $|a| + |b| = a + b$, что равносильно системе $a \geq 0$ и $b \geq 0$.

$\begin{cases} 5 + \frac{1}{x} \geq 0 \\ \frac{4}{x} - 1 - 3x \geq 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $5 + \frac{1}{x} \geq 0 \Rightarrow \frac{5x + 1}{x} \geq 0$.

Методом интервалов получаем: $x \in (-\infty, -1/5] \cup (0, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $\frac{4}{x} - 1 - 3x \geq 0 \Rightarrow \frac{4 - x - 3x^2}{x} \geq 0 \Rightarrow \frac{-(3x^2 + x - 4)}{x} \geq 0$.

Разделим на -1, изменив знак: $\frac{3x^2 + x - 4}{x} \leq 0$.

Найдём корни числителя $3x^2 + x - 4 = 0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4(3)(-4) = 49$. Корни $x_{1,2} = \frac{-1 \pm 7}{6}$, то есть $x_1 = 1$, $x_2 = -\frac{4}{3}$.

Неравенство принимает вид $\frac{3(x - 1)(x + 4/3)}{x} \leq 0$.

Методом интервалов для точек $-\frac{4}{3}, 0, 1$ находим решение: $x \in (-\infty, -4/3] \cup (0, 1]$.

Найдём пересечение решений системы:

$((-\infty, -1/5] \cup (0, +\infty)) \cap ((-\infty, -4/3] \cup (0, 1])$.

Пересечение $(-\infty, -1/5]$ и $(-\infty, -4/3]$ (учитывая, что $-4/3 \approx -1.33$ и $-1/5 = -0.2$) даёт $(-\infty, -4/3]$.

Пересечение $(0, +\infty)$ и $(0, 1]$ даёт $(0, 1]$.

Объединяем полученные множества.

Ответ: $x \in (-\infty, -4/3] \cup (0, 1]$.