Номер 29.37, страница 186, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.37, страница 186.

Решите неравенство:

29.37. а) $|5x + 3| < |2x - 1|;$

б) $|9x + 1| > |5 - 9x|;$

в) $|3 - 7x| \le |x + 5|;$

г) $|x - 3| \ge |2x + 3|.$

а) $|5x + 3| < |2x - 1|$

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$(5x + 3)^2 < (2x - 1)^2$

Перенесем все члены в левую часть:

$(5x + 3)^2 - (2x - 1)^2 < 0$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$((5x + 3) - (2x - 1))((5x + 3) + (2x - 1)) < 0$

Упростим выражения в скобках:

$(5x + 3 - 2x + 1)(5x + 3 + 2x - 1) < 0$

$(3x + 4)(7x + 2) < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни левой части:

$3x + 4 = 0 \implies x = -4/3$

$7x + 2 = 0 \implies x = -2/7$

Отметим корни на числовой оси и определим знаки выражения $(3x + 4)(7x + 2)$ в каждом интервале. Нам нужен интервал, где произведение отрицательно.

Решением является интервал $(-4/3; -2/7)$.

Ответ: $x \in (-4/3; -2/7)$.

б) $|9x + 1| > |5 - 9x|$

Возведем обе части неравенства в квадрат:

$(9x + 1)^2 > (5 - 9x)^2$

Перенесем все в левую часть и применим формулу разности квадратов:

$(9x + 1)^2 - (5 - 9x)^2 > 0$

$((9x + 1) - (5 - 9x))((9x + 1) + (5 - 9x)) > 0$

Упростим выражения в скобках:

$(9x + 1 - 5 + 9x)(9x + 1 + 5 - 9x) > 0$

$(18x - 4)(6) > 0$

Разделим обе части на 6:

$18x - 4 > 0$

$18x > 4$

$x > 4/18$

$x > 2/9$

Ответ: $x \in (2/9; +\infty)$.

в) $|3 - 7x| \le |x + 5|$

Возведем обе части неравенства в квадрат:

$(3 - 7x)^2 \le (x + 5)^2$

Перенесем все в левую часть:

$(3 - 7x)^2 - (x + 5)^2 \le 0$

Применим формулу разности квадратов:

$((3 - 7x) - (x + 5))((3 - 7x) + (x + 5)) \le 0$

Упростим выражения в скобках:

$(3 - 7x - x - 5)(3 - 7x + x + 5) \le 0$

$(-8x - 2)(-6x + 8) \le 0$

Вынесем общие множители:

$-2(4x + 1) \cdot (-2)(3x - 4) \le 0$

$4(4x + 1)(3x - 4) \le 0$

Разделим на 4:

$(4x + 1)(3x - 4) \le 0$

Решим методом интервалов. Найдем корни:

$4x + 1 = 0 \implies x = -1/4$

$3x - 4 = 0 \implies x = 4/3$

Парабола $y = (4x+1)(3x-4)$ ветвями вверх, поэтому она принимает неположительные значения между корнями (включая сами корни).

Решением является отрезок $[-1/4; 4/3]$.

Ответ: $x \in [-1/4; 4/3]$.

г) $|x - 3| \ge |2x + 3|$

Возведем обе части неравенства в квадрат:

$(x - 3)^2 \ge (2x + 3)^2$

Перенесем все в левую часть:

$(x - 3)^2 - (2x + 3)^2 \ge 0$

Применим формулу разности квадратов:

$((x - 3) - (2x + 3))((x - 3) + (2x + 3)) \ge 0$

Упростим выражения в скобках:

$(x - 3 - 2x - 3)(x - 3 + 2x + 3) \ge 0$

$(-x - 6)(3x) \ge 0$

$-3x(x + 6) \ge 0$

Разделим обе части на -3 и сменим знак неравенства на противоположный:

$x(x + 6) \le 0$

Решим методом интервалов. Корни: $x = 0$ и $x = -6$.

Парабола $y = x(x+6)$ ветвями вверх, поэтому она принимает неположительные значения между корнями (включая сами корни).

Решением является отрезок $[-6; 0]$.

Ответ: $x \in [-6; 0]$.