Номер 29.42, страница 186, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.42, страница 186.

29.42. a) $|x^2 + 3x - 1| > x^2 + 3x - 1;$

б) $\left|1 - \frac{1}{x}\right| > \frac{x^2 - 1}{x};$

в) $|5x^2 + x| > 5x^2 + x;$

г) $|x| \cdot |x - 7| > 7x - x^2.$

а) Данное неравенство имеет вид $|A| > A$. По определению модуля, $|A| \ge A$ для любого действительного $A$. Строгое неравенство $|A| > A$ выполняется тогда и только тогда, когда выражение под знаком модуля является строго отрицательным, то есть $A < 0$. В данном случае $A = x^2 + 3x - 1$.
Следовательно, исходное неравенство равносильно квадратному неравенству $x^2 + 3x - 1 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 1 = 0$ с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-3 - \sqrt{13}}{2}$ и $x_2 = \frac{-3 + \sqrt{13}}{2}$.
Графиком функции $y = x^2 + 3x - 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Значит, значения функции отрицательны на интервале между корнями.
Таким образом, решением неравенства является интервал $(\frac{-3 - \sqrt{13}}{2}, \frac{-3 + \sqrt{13}}{2})$.
Ответ: $( \frac{-3 - \sqrt{13}}{2}; \frac{-3 + \sqrt{13}}{2} )$.

б) Область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$ определяется условием $x \neq 0$.
Преобразуем неравенство:
$|1 - \frac{1}{x}| = |\frac{x-1}{x}| = \frac{|x-1|}{|x|}$.
$\frac{x^2 - 1}{x} = \frac{(x-1)(x+1)}{x}$.
Неравенство принимает вид: $\frac{|x-1|}{|x|} > \frac{(x-1)(x+1)}{x}$.
Раскроем модули, рассмотрев три случая, определяемых точками $x=0$ и $x=1$.
1) Пусть $x > 1$. Тогда $x-1 > 0$ и $x > 0$, поэтому $|x-1|=x-1$ и $|x|=x$. Неравенство принимает вид:
$\frac{x-1}{x} > \frac{(x-1)(x+1)}{x}$.
Поскольку $x > 0$, умножим обе части на $x$: $x-1 > (x-1)(x+1)$.
Так как $x > 1$, то $x-1 > 0$, разделим обе части на $x-1$: $1 > x+1$, что равносильно $x < 0$.
Полученное условие $x < 0$ противоречит предположению $x > 1$. В этом случае решений нет.
2) Пусть $0 < x < 1$. Тогда $x-1 < 0$ и $x > 0$, поэтому $|x-1|=-(x-1)$ и $|x|=x$. Неравенство принимает вид:
$\frac{-(x-1)}{x} > \frac{(x-1)(x+1)}{x}$.
Умножим на $x > 0$: $-(x-1) > (x-1)(x+1)$.
Перенесем все в правую часть: $0 > (x-1)(x+1) + (x-1)$.
$0 > (x-1)(x+1+1)$, то есть $(x-1)(x+2) < 0$.
Корни левой части: $x=1$ и $x=-2$. Ветви параболы $y=(x-1)(x+2)$ направлены вверх, значит, неравенство выполняется на интервале $(-2, 1)$.
С учетом условия $0 < x < 1$, получаем решение для этого случая: $x \in (0, 1)$.
3) Пусть $x < 0$. Тогда $x-1 < 0$ и $x < 0$, поэтому $|x-1|=-(x-1)$ и $|x|=-x$. Неравенство принимает вид:
$\frac{-(x-1)}{-x} > \frac{(x-1)(x+1)}{x}$, что упрощается до $\frac{x-1}{x} > \frac{(x-1)(x+1)}{x}$.
Умножим обе части на $x < 0$, изменив знак неравенства на противоположный: $x-1 < (x-1)(x+1)$.
Поскольку $x < 0$, то $x-1 < 0$. Разделим на $x-1$, снова изменив знак неравенства: $1 > x+1$, что равносильно $x < 0$.
Это условие совпадает с предположением $x < 0$. Следовательно, все $x$ из интервала $(-\infty, 0)$ являются решениями.
Объединяя решения из всех случаев, получаем $x \in (-\infty, 0) \cup (0, 1)$.
Ответ: $(-\infty, 0) \cup (0, 1)$.

в) Данное неравенство также имеет вид $|A| > A$. Как и в пункте а), это неравенство равносильно условию $A < 0$.
В данном случае $A = 5x^2 + x$.
Решаем неравенство $5x^2 + x < 0$.
Вынесем $x$ за скобки: $x(5x + 1) < 0$.
Найдем корни уравнения $x(5x + 1) = 0$. Это $x_1 = 0$ и $x_2 = -\frac{1}{5}$.
Графиком функции $y = 5x^2 + x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции отрицательны между корнями.
Таким образом, решение неравенства есть интервал $(-\frac{1}{5}, 0)$.
Ответ: $(-\frac{1}{5}, 0)$.

г) Используем свойство модуля $|a| \cdot |b| = |ab|$ для левой части неравенства:
$|x(x-7)| > 7x - x^2$
$|x^2 - 7x| > 7x - x^2$.
Заметим, что выражение в правой части является противоположным выражению под знаком модуля: $7x - x^2 = -(x^2 - 7x)$.
Пусть $A = x^2 - 7x$. Тогда неравенство принимает вид $|A| > -A$.
Рассмотрим это неравенство.
Если $A > 0$, то $|A|=A$, и неравенство становится $A > -A$, или $2A > 0$, что эквивалентно $A > 0$. Это верно для всех $A > 0$.
Если $A < 0$, то $|A|=-A$, и неравенство становится $-A > -A$, что неверно.
Если $A = 0$, то $|A|=0$, и неравенство становится $0 > 0$, что также неверно.
Следовательно, неравенство $|A| > -A$ равносильно условию $A > 0$.
В нашем случае это означает, что мы должны решить неравенство $x^2 - 7x > 0$.
Разложим левую часть на множители: $x(x - 7) > 0$.
Корни уравнения $x(x - 7) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$.
Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется за пределами интервала между корнями.
Решением является объединение интервалов $(-\infty, 0) \cup (7, \infty)$.
Ответ: $(-\infty, 0) \cup (7, \infty)$.