Номер 29.45, страница 187, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.45, страница 187.

29.45. a) $|5x + 7| < 8x - 11;$

б) $|5 - 4x| \le 8x + 17;$

в) $|5x + 7| \le 14x^2 - 2;$

г) $|5 - 4x| \le 11 - 10x^2.$

а)

Исходное неравенство: $|5x + 7| < 8x - 11$.

Неравенство вида $|f(x)| < g(x)$ равносильно системе двух неравенств:

$ \begin{cases} 5x + 7 < 8x - 11 \\ 5x + 7 > -(8x - 11) \end{cases} $

Решим первое неравенство системы:
$5x + 7 < 8x - 11$
$7 + 11 < 8x - 5x$
$18 < 3x$
$x > 6$

Решим второе неравенство системы:
$5x + 7 > -8x + 11$
$5x + 8x > 11 - 7$
$13x > 4$
$x > \frac{4}{13}$

Решением системы является пересечение полученных множеств: $x > 6$ и $x > \frac{4}{13}$. Общим решением является $x > 6$.

Ответ: $x \in (6; +\infty)$.

б)

Исходное неравенство: $|5 - 4x| \le 8x + 17$.

Неравенство вида $|f(x)| \le g(x)$ равносильно системе двух неравенств:

$ \begin{cases} 5 - 4x \le 8x + 17 \\ 5 - 4x \ge -(8x + 17) \end{cases} $

Решим первое неравенство системы:
$5 - 4x \le 8x + 17$
$-4x - 8x \le 17 - 5$
$-12x \le 12$
$x \ge -1$

Решим второе неравенство системы:
$5 - 4x \ge -8x - 17$
$-4x + 8x \ge -17 - 5$
$4x \ge -22$
$x \ge -\frac{22}{4}$
$x \ge -\frac{11}{2}$

Решением системы является пересечение полученных множеств: $x \ge -1$ и $x \ge -\frac{11}{2}$. Общим решением является $x \ge -1$.

Ответ: $x \in [-1; +\infty)$.

в)

Исходное неравенство: $|5x + 7| \le 14x^2 - 2$.

Неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} 5x + 7 \le 14x^2 - 2 \\ 5x + 7 \ge -(14x^2 - 2) \end{cases} $

Решим первое неравенство: $14x^2 - 5x - 9 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $14x^2 - 5x - 9 = 0$.
Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 14 \cdot (-9) = 25 + 504 = 529 = 23^2$.
Корни: $x_1 = \frac{5 - 23}{2 \cdot 14} = \frac{-18}{28} = -\frac{9}{14}$, $x_2 = \frac{5 + 23}{2 \cdot 14} = \frac{28}{28} = 1$.
Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства: $x \in (-\infty; -\frac{9}{14}] \cup [1; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $5x + 7 \ge -14x^2 + 2$, что равносильно $14x^2 + 5x + 5 \ge 0$.
Найдем дискриминант уравнения $14x^2 + 5x + 5 = 0$.
$D = 5^2 - 4 \cdot 14 \cdot 5 = 25 - 280 = -255$.
Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($14 > 0$), выражение $14x^2 + 5x + 5$ всегда положительно. Следовательно, это неравенство верно для любого действительного $x$.

Пересечением решений $x \in (-\infty; -\frac{9}{14}] \cup [1; +\infty)$ и $x \in (-\infty; +\infty)$ является множество $(-\infty; -\frac{9}{14}] \cup [1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{9}{14}] \cup [1; +\infty)$.

г)

Исходное неравенство: $|5 - 4x| \le 11 - 10x^2$.

Так как $|5 - 4x| = |4x - 5|$, неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} 4x - 5 \le 11 - 10x^2 \\ 4x - 5 \ge -(11 - 10x^2) \end{cases} $

Решим первое неравенство: $10x^2 + 4x - 16 \le 0$, или $5x^2 + 2x - 8 \le 0$.
Найдем корни уравнения $5x^2 + 2x - 8 = 0$.
$D = 2^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-8) = 4 + 160 = 164$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{164}}{10} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{41}}{10} = \frac{-1 \pm \sqrt{41}}{5}$.
Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства: $x \in [\frac{-1 - \sqrt{41}}{5}; \frac{-1 + \sqrt{41}}{5}]$.

Решим второе неравенство: $4x - 5 \ge -11 + 10x^2$, что равносильно $10x^2 - 4x - 6 \le 0$, или $5x^2 - 2x - 3 \le 0$.
Найдем корни уравнения $5x^2 - 2x - 3 = 0$.
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64 = 8^2$.
Корни: $x_1 = \frac{2 - 8}{10} = -\frac{6}{10} = -\frac{3}{5}$, $x_2 = \frac{2 + 8}{10} = 1$.
Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства: $x \in [-\frac{3}{5}; 1]$.

Найдем пересечение двух множеств решений: $[\frac{-1 - \sqrt{41}}{5}; \frac{-1 + \sqrt{41}}{5}] \cap [-\frac{3}{5}; 1]$.
Приближенные значения: $\sqrt{41} \approx 6.4$.
Первый интервал: $[\frac{-1 - 6.4}{5}; \frac{-1 + 6.4}{5}] \approx [-1.48; 1.08]$.
Второй интервал: $[-\frac{3}{5}; 1] = [-0.6; 1]$.
Пересечением этих отрезков является отрезок $[-\frac{3}{5}; 1]$.

Ответ: $x \in [-\frac{3}{5}; 1]$.