Номер 29.51, страница 188, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.51, страница 188.

Решите неравенство:

29.51. a) $|4x - 12| + |5x - 15| > 9x - 9;$

б) $|12x + 4| + |9x + 3| \ge -7x.$

а) $|4x - 12| + |5x - 15| > 9x - 9$

Сначала упростим левую часть неравенства, вынеся общие множители из-под знака модуля:
$|4(x - 3)| + |5(x - 3)| > 9x - 9$
$4|x - 3| + 5|x - 3| > 9x - 9$
$9|x - 3| > 9(x - 1)$
Разделим обе части неравенства на 9:
$|x - 3| > x - 1$

Для решения этого неравенства рассмотрим два случая, в зависимости от знака выражения под модулем. Точка, в которой выражение $x-3$ меняет знак, это $x=3$.

1. Пусть $x \ge 3$. В этом случае $x - 3 \ge 0$, и модуль раскрывается со знаком плюс:
$x - 3 > x - 1$
$-3 > -1$
Это неверное числовое неравенство, следовательно, в этом случае решений нет.

2. Пусть $x < 3$. В этом случае $x - 3 < 0$, и модуль раскрывается со знаком минус:
$-(x - 3) > x - 1$
$-x + 3 > x - 1$
$3 + 1 > x + x$
$4 > 2x$
$x < 2$

Найдем пересечение полученного решения $x < 2$ с условием этого случая $x < 3$. Пересечением является интервал $x < 2$.

Объединяя решения из двух случаев (пустое множество и $x < 2$), получаем окончательное решение.
Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

б) $|12x + 4| + |9x + 3| \ge -7x$

Упростим левую часть неравенства, вынеся общие множители из-под знака модуля:
$|4(3x + 1)| + |3(3x + 1)| \ge -7x$
$4|3x + 1| + 3|3x + 1| \ge -7x$
$7|3x + 1| \ge -7x$
Разделим обе части неравенства на 7:
$|3x + 1| \ge -x$

Рассмотрим два случая. Точка, в которой выражение $3x+1$ меняет знак, это $3x+1=0$, то есть $x = -1/3$.

1. Пусть $x \ge -1/3$. В этом случае $3x + 1 \ge 0$, и модуль раскрывается со знаком плюс:
$3x + 1 \ge -x$
$4x \ge -1$
$x \ge -1/4$
Найдем пересечение решения $x \ge -1/4$ с условием $x \ge -1/3$. Так как $-1/4 > -1/3$, то пересечением будет $x \ge -1/4$.

2. Пусть $x < -1/3$. В этом случае $3x + 1 < 0$, и модуль раскрывается со знаком минус:
$-(3x + 1) \ge -x$
$-3x - 1 \ge -x$
$-1 \ge 2x$
$x \le -1/2$
Найдем пересечение решения $x \le -1/2$ с условием $x < -1/3$. Так как $-1/2 < -1/3$, то пересечением будет $x \le -1/2$.

Объединяя решения из двух случаев ($x \ge -1/4$ и $x \le -1/2$), получаем окончательное решение.
Ответ: $x \in (-\infty; -1/2] \cup [-1/4; +\infty)$.