Номер 29.50, страница 188, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.50, страница 188.

29.50. a) $|x^2 - 2x - 5| \ge -2x - 5;$

б) $|-2x^2 + 5x + 7| \ge 2x^2 - 6x + 7;$

в) $|5 - 4x - x^2| > 2 - x - x^2;$

г) $|x^3 - x^2 - 4x| \ge -x^3 - 5x - 4.$

а) $|x^2 - 2x - 5| \ge -2x - 5$
Это неравенство вида $|f(x)| \ge g(x)$.
Обозначим $f(x) = x^2 - 2x - 5$ и $g(x) = -2x - 5$.
Известно, что по определению модуля $|f(x)| \ge f(x)$ для любых действительных значений $x$.
Сравним $f(x)$ и $g(x)$:
$x^2 - 2x - 5 \ge -2x - 5$
Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - 2x - 5 + 2x + 5 \ge 0$
$x^2 \ge 0$
Это неравенство верно для всех действительных чисел $x$.
Таким образом, мы имеем цепочку неравенств: $|x^2 - 2x - 5| \ge x^2 - 2x - 5$ и $x^2 - 2x - 5 \ge -2x - 5$.
Из этого следует, что $|x^2 - 2x - 5| \ge -2x - 5$ верно для всех $x$.
Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

б) $|-2x^2 + 5x + 7| \ge 2x^2 - 6x + 7$
Неравенство вида $|A| \ge B$ равносильно совокупности двух неравенств: $A \ge B$ или $A \le -B$.
Рассмотрим два случая:
1) $-2x^2 + 5x + 7 \ge 2x^2 - 6x + 7$
$-4x^2 + 11x \ge 0$
$4x^2 - 11x \le 0$
$x(4x - 11) \le 0$
Корни уравнения $x(4x - 11) = 0$ это $x_1=0$ и $x_2=11/4$. Ветви параболы $y = 4x^2 - 11x$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями.
Решение для первого случая: $x \in [0, 11/4]$.
2) $-2x^2 + 5x + 7 \le -(2x^2 - 6x + 7)$
$-2x^2 + 5x + 7 \le -2x^2 + 6x - 7$
$5x + 7 \le 6x - 7$
$14 \le x$
Решение для второго случая: $x \in [14, +\infty)$.
Общее решение является объединением решений этих двух случаев.
Ответ: $x \in [0, 11/4] \cup [14, +\infty)$.

в) $|5 - 4x - x^2| > 2 - x - x^2$
Неравенство вида $|A| > B$ равносильно совокупности двух неравенств: $A > B$ или $A < -B$.
Рассмотрим два случая:
1) $5 - 4x - x^2 > 2 - x - x^2$
$5 - 4x > 2 - x$
$3 > 3x$
$1 > x$
Решение для первого случая: $x \in (-\infty, 1)$.
2) $5 - 4x - x^2 < -(2 - x - x^2)$
$5 - 4x - x^2 < -2 + x + x^2$
$0 < 2x^2 + 5x - 7$
Найдем корни уравнения $2x^2 + 5x - 7 = 0$.
Дискриминант $D = 5^2 - 4(2)(-7) = 25 + 56 = 81$.
Корни $x = \frac{-5 \pm \sqrt{81}}{4} = \frac{-5 \pm 9}{4}$.
$x_1 = \frac{-14}{4} = -3.5$, $x_2 = \frac{4}{4} = 1$.
Ветви параболы $y = 2x^2 + 5x - 7$ направлены вверх, поэтому неравенство $2x^2 + 5x - 7 > 0$ выполняется вне корней.
Решение для второго случая: $x \in (-\infty, -3.5) \cup (1, +\infty)$.
Общее решение является объединением решений этих двух случаев: $(-\infty, 1) \cup (-\infty, -3.5) \cup (1, +\infty)$.
Объединение этих множеств дает $(-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$.

г) $|x^3 - x^2 - 4x| \ge -x^3 - 5x - 4$
Неравенство вида $|A| \ge B$ равносильно совокупности двух неравенств: $A \ge B$ или $A \le -B$.
Рассмотрим два случая:
1) $x^3 - x^2 - 4x \ge -x^3 - 5x - 4$
$2x^3 - x^2 + x + 4 \ge 0$
Найдем корни многочлена $P(x) = 2x^3 - x^2 + x + 4$. Проверкой делителей свободного члена находим, что $P(-1) = 2(-1)^3 - (-1)^2 + (-1) + 4 = -2 - 1 - 1 + 4 = 0$. Значит, $x=-1$ является корнем.
Разделим многочлен на $(x+1)$: $(2x^3 - x^2 + x + 4) : (x+1) = 2x^2 - 3x + 4$.
Неравенство принимает вид $(x+1)(2x^2 - 3x + 4) \ge 0$.
Для квадратного трехчлена $2x^2 - 3x + 4$ дискриминант $D = (-3)^2 - 4(2)(4) = 9 - 32 = -23 < 0$. Так как старший коэффициент $2>0$, этот трехчлен всегда положителен.Следовательно, неравенство равносильно $x+1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$.
Решение для первого случая: $x \in [-1, +\infty)$.
2) $x^3 - x^2 - 4x \le -(-x^3 - 5x - 4)$
$x^3 - x^2 - 4x \le x^3 + 5x + 4$
$-x^2 - 4x \le 5x + 4$
$-x^2 - 9x - 4 \le 0$
$x^2 + 9x + 4 \ge 0$
Найдем корни уравнения $x^2 + 9x + 4 = 0$.
Дискриминант $D = 9^2 - 4(1)(4) = 81 - 16 = 65$.
Корни $x = \frac{-9 \pm \sqrt{65}}{2}$.
Ветви параболы $y = x^2 + 9x + 4$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне корней.
Решение для второго случая: $x \in (-\infty, \frac{-9 - \sqrt{65}}{2}] \cup [\frac{-9 + \sqrt{65}}{2}, +\infty)$.
Общее решение является объединением решений: $(-\infty, \frac{-9 - \sqrt{65}}{2}] \cup [\frac{-9 + \sqrt{65}}{2}, +\infty) \cup [-1, +\infty)$.
Сравним $\frac{-9 + \sqrt{65}}{2}$ и $-1$. Так как $\sqrt{65} > \sqrt{49}=7$, то $-9+\sqrt{65} > -9+7 = -2$, и $\frac{-9 + \sqrt{65}}{2} > -1$.Поэтому объединение $[\frac{-9 + \sqrt{65}}{2}, +\infty) \cup [-1, +\infty)$ есть $[-1, +\infty)$.
Итоговое решение: $(-\infty, \frac{-9 - \sqrt{65}}{2}] \cup [-1, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, \frac{-9 - \sqrt{65}}{2}] \cup [-1, +\infty)$.