Номер 29.54, страница 188, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.54, страница 188.

29.54. Решите неравенство:

a) $|x - \sqrt{3x + 7}| + |2x - \sqrt{3x + 7}| \ge |x|$;

б) $|x^2 + 2x| \le \left|x^2 + x - \frac{\sqrt{1 - x}}{x}\right| + \left|x + \frac{\sqrt{1 - x}}{x}\right|$.

а)

Исходное неравенство: $|x - \sqrt{3x+7}| + |2x - \sqrt{3x+7}| \ge |x|$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $3x + 7 \ge 0 \implies 3x \ge -7 \implies x \ge -7/3$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [-7/3, +\infty)$.

Заметим, что данное неравенство можно свести к неравенству треугольника. Сделаем замену переменных. Пусть $A = x - \sqrt{3x+7}$ и $B = x$. Тогда второй модуль в левой части можно выразить через $A$ и $B$: $2x - \sqrt{3x+7} = (x - \sqrt{3x+7}) + x = A + B$. Правая часть неравенства равна $|x| = |B|$.

Подставив эти выражения в исходное неравенство, получим: $|A| + |A+B| \ge |B|$.

Это неравенство можно переписать, выразив $B$ через $A$ и $A+B$: $B = (A+B) - A$. $|A| + |A+B| \ge |(A+B) - A|$.

Если мы обозначим $u = A+B$ и $v = A$, то неравенство примет вид: $|v| + |u| \ge |u-v|$. Это является одной из форм неравенства треугольника ($|v| + |-u| \ge |v-u|$), которое справедливо для любых действительных чисел $u$ и $v$.

Следовательно, исходное неравенство справедливо для всех значений $x$, при которых его части определены. Это означает, что решением неравенства является вся его область допустимых значений.

Ответ: $x \in [-7/3, +\infty)$.

б)

Исходное неравенство: $|x^2 + 2x| \le |x^2 + x - \frac{\sqrt{1-x}}{x}| + |x + \frac{\sqrt{1-x}}{x}|$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

1. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $1-x \ge 0 \implies x \le 1$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x \ne 0$.

Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, 1]$.

Рассмотрим структуру неравенства. Сделаем замену. Пусть $A = x^2 + x - \frac{\sqrt{1-x}}{x}$ и $B = x + \frac{\sqrt{1-x}}{x}$. Найдем сумму $A+B$: $A+B = \left(x^2 + x - \frac{\sqrt{1-x}}{x}\right) + \left(x + \frac{\sqrt{1-x}}{x}\right) = x^2 + 2x$.

Теперь подставим эти выражения в исходное неравенство. Левая часть: $|x^2+2x| = |A+B|$. Правая часть: $|x^2 + x - \frac{\sqrt{1-x}}{x}| + |x + \frac{\sqrt{1-x}}{x}| = |A| + |B|$. Неравенство принимает вид: $|A+B| \le |A| + |B|$.

Это классическое неравенство треугольника для модуля, которое справедливо для любых действительных чисел $A$ и $B$. Следовательно, исходное неравенство выполняется для всех значений $x$, входящих в область допустимых значений.

Таким образом, решением неравенства является его ОДЗ.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, 1]$.