Номер 29.53, страница 188, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.53, страница 188.

29.53. Докажите, что множество решений неравенства $|f(x)| + |g(x)| \geq |f(x) + g(x)|$ совпадает с пересечением множеств $D(f)$ и $D(g)$.

Для доказательства того, что множество решений неравенства $|f(x)| + |g(x)| \ge |f(x) + g(x)|$ совпадает с пересечением множеств $D(f)$ и $D(g)$, необходимо установить, что эти два множества равны. Обозначим множество решений неравенства как $S$, а пересечение областей определения как $D = D(f) \cap D(g)$. Мы докажем, что $S = D$, показав два взаимных включения: $S \subseteq D$ и $D \subseteq S$.

1. Доказательство того, что $S \subseteq D$ (любое решение принадлежит пересечению областей определения).
Пусть $x_0$ является решением данного неравенства. Это означает, что при подстановке $x_0$ в неравенство получается верное числовое соотношение: $|f(x_0)| + |g(x_0)| \ge |f(x_0) + g(x_0)|$. Для того чтобы это соотношение имело смысл, все его компоненты должны быть определены. В частности, должны существовать значения функций $f(x_0)$ и $g(x_0)$. По определению области определения функции, это означает, что $x_0 \in D(f)$ и $x_0 \in D(g)$. Следовательно, $x_0$ принадлежит пересечению этих множеств: $x_0 \in D(f) \cap D(g)$. Таким образом, любое решение неравенства принадлежит множеству $D$, что доказывает включение $S \subseteq D$.

2. Доказательство того, что $D \subseteq S$ (любое число из пересечения областей определения является решением).
Пусть $x_0$ — произвольный элемент из пересечения областей определения функций, то есть $x_0 \in D(f) \cap D(g)$. Это значит, что $f(x_0)$ и $g(x_0)$ — это определенные действительные числа. Обозначим их для простоты как $a = f(x_0)$ и $b = g(x_0)$.
Рассмотрим известное свойство модуля для любых действительных чисел $a$ и $b$, которое называется неравенством треугольника:$|a| + |b| \ge |a+b|$.Это неравенство всегда истинно. Подставив вместо $a$ и $b$ наши функции от $x_0$, получаем:$|f(x_0)| + |g(x_0)| \ge |f(x_0) + g(x_0)|$.Поскольку это неравенство верно для любого $x_0$, принадлежащего $D(f) \cap D(g)$, то каждый элемент из $D$ является решением исходного неравенства. Это доказывает включение $D \subseteq S$.

Из того, что $S \subseteq D$ и $D \subseteq S$, следует, что множества $S$ и $D$ равны. Таким образом, множество решений неравенства $|f(x)| + |g(x)| \ge |f(x) + g(x)|$ полностью совпадает с пересечением областей определения функций $f(x)$ и $g(x)$.

Ответ: Утверждение доказано. Неравенство $|f(x)| + |g(x)| \ge |f(x) + g(x)|$ является неравенством треугольника для значений функций $f(x)$ и $g(x)$. Оно справедливо для всех $x$, для которых обе функции определены, то есть на множестве $D(f) \cap D(g)$. Следовательно, множество решений неравенства совпадает с $D(f) \cap D(g)$.