Номер 29.48, страница 187, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 29. Уравнения и неравенства с модулями. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 29.48, страница 187.

29.48. a) $|7x - 11| > 3x + 5;$

б) $|5x + 7| \ge 3x^2 + 11x - 2;$

в) $|4 - x| > -3x - 2;$

г) $|5 - 4x| \ge 5 - 7x - 3x^2.$

а) $|7x - 11| > 3x + 5$

Неравенство вида $|f(x)| > g(x)$ равносильно совокупности двух неравенств:

$f(x) > g(x)$ или $f(x) < -g(x)$.

В данном случае получаем совокупность:

$\left[\begin{array}{l} 7x - 11 > 3x + 5 \\ 7x - 11 < -(3x + 5) \end{array}\right.$

Решим первое неравенство:

$7x - 11 > 3x + 5$

$7x - 3x > 5 + 11$

$4x > 16$

$x > 4$

Решим второе неравенство:

$7x - 11 < -3x - 5$

$7x + 3x < 11 - 5$

$10x < 6$

$x < 0.6$

Решением исходного неравенства является объединение полученных решений: $x < 0.6$ или $x > 4$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0.6) \cup (4; +\infty)$.

б) $|5x + 7| \ge 3x^2 + 11x - 2$

Неравенство вида $|f(x)| \ge g(x)$ равносильно совокупности двух неравенств:

$f(x) \ge g(x)$ или $f(x) \le -g(x)$.

Получаем совокупность:

$\left[\begin{array}{l} 5x + 7 \ge 3x^2 + 11x - 2 \\ 5x + 7 \le -(3x^2 + 11x - 2) \end{array}\right.$

Решим первое неравенство:

$0 \ge 3x^2 + 11x - 5x - 2 - 7$

$3x^2 + 6x - 9 \le 0$

$x^2 + 2x - 3 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$. Неравенство можно записать как $(x+3)(x-1) \le 0$.

Так как ветви параболы $y = x^2 + 2x - 3$ направлены вверх, решение неравенства: $x \in [-3; 1]$.

Решим второе неравенство:

$5x + 7 \le -3x^2 - 11x + 2$

$3x^2 + 5x + 11x + 7 - 2 \le 0$

$3x^2 + 16x + 5 \le 0$

Найдем корни уравнения $3x^2 + 16x + 5 = 0$.

Дискриминант $D = 16^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 256 - 60 = 196 = 14^2$.

Корни: $x_1 = \frac{-16 - 14}{6} = -5$, $x_2 = \frac{-16 + 14}{6} = -\frac{1}{3}$.

Так как ветви параболы $y = 3x^2 + 16x + 5$ направлены вверх, решение неравенства: $x \in [-5; -1/3]$.

Объединим полученные решения: $[-3; 1] \cup [-5; -1/3]$. Это объединение дает промежуток $[-5; 1]$.

Ответ: $x \in [-5; 1]$.

в) $|4 - x| > -3x - 2$

Так как $|4 - x| = |x - 4|$, перепишем неравенство в виде $|x - 4| > -3x - 2$.

Неравенство вида $|f(x)| > g(x)$ равносильно совокупности двух неравенств:

$f(x) > g(x)$ или $f(x) < -g(x)$.

Получаем совокупность:

$\left[\begin{array}{l} x - 4 > -3x - 2 \\ x - 4 < -(-3x - 2) \end{array}\right.$

Решим первое неравенство:

$x + 3x > 4 - 2$

$4x > 2$

$x > 1/2$

Решим второе неравенство:

$x - 4 < 3x + 2$

$-4 - 2 < 3x - x$

$-6 < 2x$

$x > -3$

Решением исходного неравенства является объединение полученных решений: $(1/2; +\infty) \cup (-3; +\infty)$. Это объединение дает интервал $(-3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-3; +\infty)$.

г) $|5 - 4x| \ge 5 - 7x - 3x^2$

Так как $|5 - 4x| = |4x - 5|$, перепишем неравенство в виде $|4x - 5| \ge 5 - 7x - 3x^2$.

Неравенство вида $|f(x)| \ge g(x)$ равносильно совокупности двух неравенств:

$f(x) \ge g(x)$ или $f(x) \le -g(x)$.

Получаем совокупность:

$\left[\begin{array}{l} 4x - 5 \ge 5 - 7x - 3x^2 \\ 4x - 5 \le -(5 - 7x - 3x^2) \end{array}\right.$

Решим первое неравенство:

$3x^2 + 4x + 7x - 5 - 5 \ge 0$

$3x^2 + 11x - 10 \ge 0$

Найдем корни уравнения $3x^2 + 11x - 10 = 0$.

Дискриминант $D = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 121 + 120 = 241$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-11 \pm \sqrt{241}}{6}$.

Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства: $x \in (-\infty; \frac{-11 - \sqrt{241}}{6}] \cup [\frac{-11 + \sqrt{241}}{6}; +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$4x - 5 \le -5 + 7x + 3x^2$

$0 \le 3x^2 + 7x - 4x$

$3x^2 + 3x \ge 0$

$3x(x + 1) \ge 0$

Корни $x_1 = 0$, $x_2 = -1$. Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства: $x \in (-\infty; -1] \cup [0; +\infty)$.

Теперь найдем объединение множеств решений:

$(-\infty; \frac{-11 - \sqrt{241}}{6}] \cup [\frac{-11 + \sqrt{241}}{6}; +\infty)$ и $(-\infty; -1] \cup [0; +\infty)$.

Для этого сравним граничные точки. Так как $\sqrt{241} > \sqrt{25}=5$, то $-11 - \sqrt{241} < -16$, и $\frac{-11 - \sqrt{241}}{6} < -1$. Следовательно, объединение $(-\infty; \frac{-11 - \sqrt{241}}{6}] \cup (-\infty; -1]$ равно $(-\infty; -1]$.

Так как $\sqrt{241} > \sqrt{121}=11$, то $-11 + \sqrt{241} > 0$, и $\frac{-11 + \sqrt{241}}{6} > 0$. Следовательно, объединение $[\frac{-11 + \sqrt{241}}{6}; +\infty) \cup [0; +\infty)$ равно $[0; +\infty)$.

Итоговым решением является объединение этих двух результатов.

Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup [0; +\infty)$.