Страница 189, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

29.57. Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение имеет единственный корень:

а) $|x + 1| + 2 |x - 1| = 1 - a$;

б) $2 |x - 5| - |x + 6| = 2a - 1$.

а)

Рассмотрим функцию в левой части уравнения: $f(x) = |x+1| + 2|x-1|$. Исходное уравнение можно представить в виде $f(x) = 1-a$. Задача сводится к нахождению таких значений параметра $a$, при которых горизонтальная прямая $y = 1-a$ пересекает график функции $y = f(x)$ ровно в одной точке.

Выражения под знаками модуля обращаются в ноль в точках $x=-1$ и $x=1$. Эти точки разбивают числовую ось на три промежутка. Раскроем модули на каждом из них:

1. При $x < -1$:
$f(x) = -(x+1) - 2(x-1) = -x-1-2x+2 = -3x+1$.

2. При $-1 \le x < 1$:
$f(x) = (x+1) - 2(x-1) = x+1-2x+2 = -x+3$.

3. При $x \ge 1$:
$f(x) = (x+1) + 2(x-1) = x+1+2x-2 = 3x-1$.

График функции $y=f(x)$ является ломаной линией. Найдем значения функции в "узловых" точках (точках излома):

$f(-1) = |-1+1| + 2|-1-1| = 0 + 2(2) = 4$.

$f(1) = |1+1| + 2|1-1| = 2 + 0 = 2$.

Проанализируем поведение функции. На промежутке $(-\infty, 1]$ функция убывает (сначала с угловым коэффициентом -3, затем с коэффициентом -1). На промежутке $[1, \infty)$ функция возрастает (с угловым коэффициентом 3). Следовательно, в точке $x=1$ функция достигает своего наименьшего значения (глобального минимума).

Минимальное значение функции: $f_{min} = f(1) = 2$.

Уравнение $f(x) = 1-a$ будет иметь единственный корень только в том случае, если прямая $y=1-a$ пройдет через точку минимума графика функции $y=f(x)$. Это означает, что значение правой части уравнения должно быть равно минимальному значению функции.

Приравняем правую часть к минимальному значению функции:

$1-a = 2$

$a = 1-2$

$a = -1$

При $1-a > 2$ уравнение будет иметь два корня, а при $1-a < 2$ — не будет иметь корней.

Ответ: $a = -1$.

б)

Рассмотрим функцию в левой части уравнения: $g(x) = 2|x-5| - |x+6|$. Уравнение принимает вид $g(x) = 2a-1$. Нам нужно найти, при каких значениях параметра $a$ график функции $y=g(x)$ пересекается с горизонтальной прямой $y=2a-1$ ровно в одной точке.

Выражения под знаками модуля обращаются в ноль в точках $x=5$ и $x=-6$. Эти точки разбивают числовую ось на три промежутка:

1. При $x < -6$:
$g(x) = 2(-(x-5)) - (-(x+6)) = -2x+10 + x+6 = -x+16$.

2. При $-6 \le x < 5$:
$g(x) = 2(-(x-5)) - (x+6) = -2x+10 - x-6 = -3x+4$.

3. При $x \ge 5$:
$g(x) = 2(x-5) - (x+6) = 2x-10 - x-6 = x-16$.

График функции $y=g(x)$ представляет собой ломаную. Найдем значения функции в точках излома:

$g(-6) = 2|-6-5| - |-6+6| = 2(11) - 0 = 22$.

$g(5) = 2|5-5| - |5+6| = 0 - 11 = -11$.

Проанализируем поведение функции: на промежутке $(-\infty, 5]$ функция убывает (сначала с угловым коэффициентом -1, затем -3), а на промежутке $[5, \infty)$ — возрастает (с угловым коэффициентом 1). Таким образом, в точке $x=5$ функция достигает своего наименьшего значения (глобального минимума).

Минимальное значение функции: $g_{min} = g(5) = -11$.

Уравнение будет иметь единственный корень, если прямая $y=2a-1$ коснется графика функции в его точке минимума.

Для этого необходимо выполнение условия:

$2a-1 = -11$

$2a = -10$

$a = -5$

Если $2a-1 > -11$, уравнение будет иметь два корня. Если $2a-1 < -11$, корней не будет.

Ответ: $a = -5$.

29.58. Найдите все значения параметра t, при которых неравенство $|x + 2| + |x - 7| \ge t$ выполняется:

а) для любых значений $x$;

б) хотя бы для одного значения $x$;

в) для любых значений $x > 10$;

г) для любых значений $x \le 1$.

Рассмотрим функцию в левой части неравенства: $f(x) = |x + 2| + |x - 7|$. Эта функция представляет собой сумму расстояний от точки $x$ на числовой прямой до точек $-2$ и $7$.

Исследуем эту функцию, раскрыв модули на различных промежутках. Точки, в которых выражения под модулем обращаются в ноль, это $x = -2$ и $x = 7$. Они разбивают числовую прямую на три интервала.

1. При $x < -2$, оба подмодульных выражения отрицательны: $f(x) = -(x + 2) - (x - 7) = -x - 2 - x + 7 = -2x + 5$.

2. При $-2 \le x \le 7$, первое выражение неотрицательно, а второе — неположительно: $f(x) = (x + 2) - (x - 7) = x + 2 - x + 7 = 9$.

3. При $x > 7$, оба подмодульных выражения положительны: $f(x) = (x + 2) + (x - 7) = 2x - 5$.

Таким образом, функция $f(x)$ задается кусочно:$f(x) = \begin{cases} -2x + 5, & \text{если } x < -2 \\ 9, & \text{если } -2 \le x \le 7 \\ 2x - 5, & \text{если } x > 7 \end{cases}$

Функция $f(x)$ убывает на $(-\infty, -2)$, постоянна и равна 9 на $[-2, 7]$ и возрастает на $(7, +\infty)$. Минимальное значение функции равно 9, и оно достигается при любом $x \in [-2, 7]$. Область значений функции $E(f) = [9, +\infty)$. Теперь решим каждую из подзадач.

а) для любых значений $x$

Неравенство $|x + 2| + |x - 7| \ge t$, или $f(x) \ge t$, должно выполняться для всех действительных значений $x$. Это означает, что параметр $t$ должен быть не больше минимального значения функции $f(x)$.Как мы выяснили, $\min_{x \in \mathbb{R}} f(x) = 9$.Следовательно, для выполнения условия для любого $x$, необходимо и достаточно, чтобы $t \le 9$.

Ответ: $t \in (-\infty, 9]$.

б) хотя бы для одного значения $x$

Неравенство $f(x) \ge t$ должно выполняться хотя бы для одного значения $x$. Это означает, что должно существовать такое значение $x_0$, что $f(x_0) \ge t$.Это условие будет выполнено, если значение $t$ не превышает некоторого значения из области значений функции $f(x)$. Область значений функции $f(x)$ — это луч $[9, +\infty)$.Функция $f(x)$ неограничена сверху (например, при $x \to \infty$, $f(x) = 2x - 5 \to \infty$).Следовательно, для любого действительного числа $t$ всегда найдется значение $x$, для которого $f(x) \ge t$. Например, можно взять достаточно большое по модулю $x$.Таким образом, неравенство имеет хотя бы одно решение при любом значении параметра $t$.

Ответ: $t \in (-\infty, +\infty)$.

в) для любых значений $x > 10$

Неравенство $f(x) \ge t$ должно выполняться для всех $x > 10$. Это означает, что $t$ должно быть не больше, чем наименьшее значение функции $f(x)$ на промежутке $(10, +\infty)$.На промежутке $x > 7$, и в частности при $x > 10$, функция имеет вид $f(x) = 2x - 5$.Эта функция является возрастающей. Следовательно, на интервале $(10, +\infty)$ ее значения больше, чем значение в точке $x=10$.Найдем инфимум (точную нижнюю грань) значений функции на этом интервале:$\inf_{x > 10} f(x) = \lim_{x\to 10^+} (2x - 5) = 2 \cdot 10 - 5 = 15$.Таким образом, для всех $x > 10$ выполняется строгое неравенство $f(x) > 15$.Чтобы неравенство $f(x) \ge t$ выполнялось для всех $x > 10$, необходимо и достаточно, чтобы $t \le 15$.

Ответ: $t \in (-\infty, 15]$.

г) для любых значений $x \le 1$

Неравенство $f(x) \ge t$ должно выполняться для всех $x \le 1$. Это означает, что $t$ должно быть не больше, чем наименьшее значение функции $f(x)$ на промежутке $(-\infty, 1]$.Рассмотрим поведение функции $f(x)$ на этом промежутке.Промежуток $(-\infty, 1]$ включает в себя два участка: $(-\infty, -2)$ и $[-2, 1]$.1. На интервале $(-\infty, -2)$ функция $f(x) = -2x + 5$ убывает. При $x \to -2^-$, $f(x) \to -2(-2) + 5 = 9$. Значит, на этом интервале $f(x) > 9$.2. На отрезке $[-2, 1]$, который является частью отрезка $[-2, 7]$, функция постоянна и равна $f(x) = 9$.Объединяя эти два случая, мы видим, что для любого $x \le 1$ значение функции $f(x) \ge 9$.Наименьшее значение функции $f(x)$ на промежутке $(-\infty, 1]$ равно 9.$\min_{x \le 1} f(x) = 9$.Следовательно, чтобы неравенство $f(x) \ge t$ выполнялось для всех $x \le 1$, необходимо и достаточно, чтобы $t \le 9$.

Ответ: $t \in (-\infty, 9]$.

29.59. Найдите все значения параметра $t$, при которых неравенство $|x+2|+|x-7|+|x+4| \ge t$ выполняется:

а) для любых значений $x$;

б) хотя бы для одного значения $x$;

в) для любых значений $x \le -7$;

г) для любых значений $x \ge -1$.

Для решения задачи введем функцию $f(x) = |x + 2| + |x - 7| + |x + 4|$. Нам необходимо найти все значения параметра $t$, при которых неравенство $f(x) \ge t$ выполняется при различных условиях, наложенных на $x$.

Функция $f(x)$ представляет собой сумму модулей линейных функций. Такая функция является непрерывной и кусочно-линейной. Её "изломы" происходят в точках, где выражения под модулем обращаются в ноль. Найдем эти точки:

• $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$
• $x - 7 = 0 \Rightarrow x = 7$
• $x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$

Расположим эти точки на числовой оси: $-4, -2, 7$. Они разбивают ось на четыре интервала. Раскроем модули на каждом из этих интервалов:

1. При $x < -4$: $f(x) = -(x+2) - (x-7) - (x+4) = -3x+1$.
2. При $-4 \le x < -2$: $f(x) = -(x+2) - (x-7) + (x+4) = -x+9$.
3. При $-2 \le x < 7$: $f(x) = (x+2) - (x-7) + (x+4) = x+13$.
4. При $x \ge 7$: $f(x) = (x+2) + (x-7) + (x+4) = 3x-1$.

Проанализируем монотонность функции по знаку углового коэффициента на каждом интервале:

• На $(-\infty, -4)$ функция убывает (коэффициент $-3$).
• На $[-4, -2)$ функция убывает (коэффициент $-1$).
• На $[-2, 7)$ функция возрастает (коэффициент $1$).
• На $[7, \infty)$ функция возрастает (коэффициент $3$).

Функция убывает до точки $x=-2$ и возрастает после нее. Следовательно, в точке $x=-2$ функция достигает своего глобального минимума.

Найдем минимальное значение функции: $f_{min} = f(-2) = |-2+2| + |-2-7| + |-2+4| = |0| + |-9| + |2| = 0+9+2 = 11$.

Теперь решим каждую из поставленных задач.

а) для любых значений x;

Неравенство $f(x) \ge t$ должно выполняться для всех действительных значений $x$. Это эквивалентно тому, что параметр $t$ должен быть не больше наименьшего значения функции $f(x)$ на всей числовой оси.Поскольку $min_{x \in R} f(x) = 11$, то условие имеет вид $t \le 11$.

Ответ: $t \in (-\infty, 11]$.

б) хотя бы для одного значения x;

Неравенство $f(x) \ge t$ должно выполняться хотя бы для одного значения $x$. Это означает, что множество решений неравенства не должно быть пустым. Это будет так, если параметр $t$ не превышает максимального (или точной верхней грани) значения функции $f(x)$.

Множество значений функции $f(x)$ — это промежуток $[11, +\infty)$. Точная верхняя грань (супремум) значений функции равна $+\infty$. Для любого действительного числа $t$ всегда найдется значение $x$ (например, достаточно большое по модулю), для которого $f(x) \ge t$. Таким образом, условие выполняется при любом значении $t$.

Ответ: $t \in (-\infty, +\infty)$.

в) для любых значений $x \le -7$;

Неравенство $f(x) \ge t$ должно выполняться для всех $x$ из промежутка $(-\infty, -7]$. Это значит, что $t$ должно быть не больше наименьшего значения функции $f(x)$ на этом промежутке.

На промежутке $(-\infty, -7]$ (который целиком лежит в области $x < -4$) функция задается формулой $f(x) = -3x+1$. Эта линейная функция является убывающей. Следовательно, ее наименьшее значение на промежутке $(-\infty, -7]$ достигается в его крайней правой точке, то есть при $x=-7$.

Найдем это значение: $f(-7) = -3(-7) + 1 = 21 + 1 = 22$.

Таким образом, $min_{x \le -7} f(x) = 22$. Отсюда получаем условие $t \le 22$.

Ответ: $t \in (-\infty, 22]$.

г) для любых значений $x \ge -1$.

Неравенство $f(x) \ge t$ должно выполняться для всех $x$ из промежутка $[-1, \infty)$. Это значит, что $t$ должно быть не больше наименьшего значения функции $f(x)$ на этом промежутке.

Промежуток $[-1, \infty)$ расположен правее точки глобального минимума $x=-2$. На всей области $x > -2$ функция $f(x)$ возрастает. Следовательно, на промежутке $[-1, \infty)$ она также возрастает, и ее наименьшее значение достигается в его крайней левой точке, то есть при $x=-1$.

Найдем это значение: $f(-1) = |-1+2| + |-1-7| + |-1+4| = |1| + |-8| + |3| = 1 + 8 + 3 = 12$.

Таким образом, $min_{x \ge -1} f(x) = 12$. Отсюда получаем условие $t \le 12$.

Ответ: $t \in (-\infty, 12]$.

29.60. Найдите наименьшее значение функции $y = f(x)$:

a) $f(x) = |x - 1| + |x - 2| + \dots + |x - 10|;$

б) $f(x) = |x - 1| + |x - 2| + \dots + |x - 9|.$

Для решения задачи воспользуемся геометрической интерпретацией модуля. Выражение $|x - a|$ равно расстоянию на числовой прямой между точками с координатами $x$ и $a$. Таким образом, функция $f(x) = \sum_{i=1}^{n} |x - a_i|$ представляет собой сумму расстояний от точки $x$ до набора точек $a_1, a_2, \dots, a_n$.

Задача сводится к нахождению такой точки $x$ на числовой прямой, для которой сумма расстояний до заданных точек будет минимальной. Известно, что такая сумма расстояний достигает своего наименьшего значения в точке, которая является медианой набора чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$.

• Если количество точек $n$ нечетное, то медианой является единственная точка, расположенная посередине упорядоченного набора. Наименьшее значение функции достигается в этой точке.
• Если количество точек $n$ четное, то медианой является любое число, расположенное между двумя центральными точками упорядоченного набора. В этом случае функция принимает одинаковое минимальное значение для любого $x$ из этого промежутка.

Рассмотрим функцию $f(x) = |x - 1| + |x - 2| + \dots + |x - 10|$. Здесь мы ищем точку $x$, которая минимизирует сумму расстояний до точек $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$. Количество точек $n = 10$, что является четным числом. Точки уже упорядочены по возрастанию. Две центральные точки в этом наборе — это $5$ и $6$. Следовательно, функция достигает своего наименьшего значения при любом $x$, принадлежащем отрезку $[5, 6]$. Для нахождения этого значения выберем любую удобную точку из этого отрезка, например, $x = 5$.

Вычислим значение функции при $x = 5$: $f(5) = |5 - 1| + |5 - 2| + |5 - 3| + |5 - 4| + |5 - 5| + |5 - 6| + |5 - 7| + |5 - 8| + |5 - 9| + |5 - 10|$ $f(5) = 4 + 3 + 2 + 1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5$ $f(5) = (1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 10 + 15 = 25$.

Можно также убедиться, что значение функции постоянно на отрезке $[5, 6]$, сгруппировав слагаемые: $f(x) = (|x-1| + |x-10|) + (|x-2| + |x-9|) + (|x-3| + |x-8|) + (|x-4| + |x-7|) + (|x-5| + |x-6|)$ Для любого $x \in [5, 6]$: $|x-1| + |x-10| = (x-1) + (10-x) = 9$ $|x-2| + |x-9| = (x-2) + (9-x) = 7$ $|x-3| + |x-8| = (x-3) + (8-x) = 5$ $|x-4| + |x-7| = (x-4) + (7-x) = 3$ $|x-5| + |x-6| = (x-5) + (6-x) = 1$ Суммируя эти значения, получаем: $f(x) = 9 + 7 + 5 + 3 + 1 = 25$.

Ответ: 25.

Рассмотрим функцию $f(x) = |x - 1| + |x - 2| + \dots + |x - 9|$. Здесь мы ищем точку $x$, которая минимизирует сумму расстояний до точек $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$. Количество точек $n = 9$, что является нечетным числом. Точки уже упорядочены. Медианой этого набора является центральная точка. Номер медианы в упорядоченном ряду находится по формуле $(n+1)/2$. Номер медианы: $(9+1)/2 = 5$. Пятая точка в наборе — это число $5$. Следовательно, функция достигает своего наименьшего значения в точке $x = 5$.

Вычислим значение функции при $x = 5$: $f(5) = |5 - 1| + |5 - 2| + |5 - 3| + |5 - 4| + |5 - 5| + |5 - 6| + |5 - 7| + |5 - 8| + |5 - 9|$ $f(5) = 4 + 3 + 2 + 1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4$ $f(5) = (1 + 2 + 3 + 4) + 0 + (1 + 2 + 3 + 4) = 10 + 10 = 20$.

Ответ: 20.

Решите уравнение:

30.1. а) $\sqrt{x} = 7$;

б) $\sqrt[6]{x+1} = -1$;

в) $\sqrt{6-x} = 8$;

г) $\sqrt[7]{x+1} = -2$.

а) Дано уравнение $\sqrt{x} = 7$.
По определению, арифметический квадратный корень извлекается из неотрицательного числа, поэтому область допустимых значений (ОДЗ) для $x$ определяется условием $x \ge 0$. Правая часть уравнения (7) является положительным числом, что не противоречит свойству корня.
Для нахождения $x$ возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = 7^2$
$x = 49$
Найденное значение $x=49$ удовлетворяет ОДЗ. Проверка: $\sqrt{49} = 7$.

Ответ: $49$.

б) Дано уравнение $\sqrt[6]{x+1} = -1$.
В левой части уравнения находится корень четной степени (шестой). По определению, значение арифметического корня четной степени всегда является неотрицательным числом, то есть $\sqrt[6]{x+1} \ge 0$ для всех $x$, при которых выражение имеет смысл.
В правой части уравнения стоит отрицательное число (-1). Поскольку неотрицательная величина не может быть равна отрицательной, данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: нет решений.

в) Дано уравнение $\sqrt{6-x} = 8$.
ОДЗ для этого уравнения определяется требованием неотрицательности подкоренного выражения: $6-x \ge 0$, что эквивалентно $x \le 6$.
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от радикала:
$(\sqrt{6-x})^2 = 8^2$
$6-x = 64$
Решим полученное линейное уравнение относительно $x$:
$-x = 64 - 6$
$-x = 58$
$x = -58$
Корень $x = -58$ удовлетворяет ОДЗ ($-58 \le 6$). Выполним проверку, подставив значение в исходное уравнение: $\sqrt{6 - (-58)} = \sqrt{6+58} = \sqrt{64} = 8$.

Ответ: $-58$.

г) Дано уравнение $\sqrt[7]{x+1} = -2$.
В уравнении присутствует корень нечетной степени (седьмой). Корень нечетной степени определен для любого действительного подкоренного выражения и может принимать любые действительные значения (положительные, отрицательные или ноль). Поэтому ОДЗ не накладывает ограничений на $x$.
Возведем обе части уравнения в седьмую степень:
$(\sqrt[7]{x+1})^7 = (-2)^7$
$x+1 = -128$
Найдем $x$ из полученного линейного уравнения:
$x = -128 - 1$
$x = -129$
Проверка: $\sqrt[7]{-129+1} = \sqrt[7]{-128} = -2$.

Ответ: $-129$.

30.2. а) $\sqrt{x^2 - 4x - 3} = 3;$

б) $\sqrt[6]{x^3 - 2x^2 + 1} = 1;$

В) $\sqrt{36 - x - 12x^2} = 5;$

Г) $\sqrt[7]{1 - x^2 - x^3} = 1.$

а)

Дано иррациональное уравнение: $\sqrt{x^2 - 4x - 3} = 3$.

Для решения уравнения возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от знака корня. Так как правая часть уравнения (число 3) является положительным числом, данное преобразование является равносильным при условии, что подкоренное выражение неотрицательно.

$(\sqrt{x^2 - 4x - 3})^2 = 3^2$

$x^2 - 4x - 3 = 9$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 4x - 3 - 9 = 0$

$x^2 - 4x - 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для нахождения корней.

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 4$

$x_1 \cdot x_2 = -12$

Подбором находим корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = -2$.

Выполним проверку, подставив найденные корни в исходное уравнение.

При $x = 6$:

$\sqrt{6^2 - 4(6) - 3} = \sqrt{36 - 24 - 3} = \sqrt{9} = 3$.

$3 = 3$. Корень $x=6$ подходит.

При $x = -2$:

$\sqrt{(-2)^2 - 4(-2) - 3} = \sqrt{4 + 8 - 3} = \sqrt{9} = 3$.

$3 = 3$. Корень $x=-2$ подходит.

Ответ: $x_1 = 6, x_2 = -2$.

б)

Дано уравнение: $\sqrt[6]{x^3 - 2x^2 + 1} = 1$.

Возведем обе части уравнения в шестую степень, чтобы избавиться от корня.

$(\sqrt[6]{x^3 - 2x^2 + 1})^6 = 1^6$

$x^3 - 2x^2 + 1 = 1$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^3 - 2x^2 + 1 - 1 = 0$

$x^3 - 2x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(x - 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x^2 = 0$ или $x - 2 = 0$

$x_1 = 0$ или $x_2 = 2$

Так как мы возводили в четную степень, необходимо выполнить проверку, подставив найденные значения в исходное уравнение.

При $x = 0$:

$\sqrt[6]{0^3 - 2(0)^2 + 1} = \sqrt[6]{1} = 1$.

$1 = 1$. Корень $x=0$ подходит.

При $x = 2$:

$\sqrt[6]{2^3 - 2(2)^2 + 1} = \sqrt[6]{8 - 2(4) + 1} = \sqrt[6]{8 - 8 + 1} = \sqrt[6]{1} = 1$.

$1 = 1$. Корень $x=2$ подходит.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 2$.

в)

Дано уравнение: $\sqrt{36 - x - 12x^2} = 5$.

Возведем обе части уравнения в квадрат.

$(\sqrt{36 - x - 12x^2})^2 = 5^2$

$36 - x - 12x^2 = 25$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$12x^2 + x + 25 - 36 = 0$

$12x^2 + x - 11 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$D = 1^2 - 4(12)(-11) = 1 + 528 = 529 = 23^2$

Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-1 - 23}{2 \cdot 12} = \frac{-24}{24} = -1$

$x_2 = \frac{-1 + 23}{2 \cdot 12} = \frac{22}{24} = \frac{11}{12}$

Выполним проверку найденных корней.

При $x = -1$:

$\sqrt{36 - (-1) - 12(-1)^2} = \sqrt{36 + 1 - 12} = \sqrt{25} = 5$.

$5 = 5$. Корень $x=-1$ подходит.

При $x = \frac{11}{12}$:

$\sqrt{36 - \frac{11}{12} - 12(\frac{11}{12})^2} = \sqrt{36 - \frac{11}{12} - 12 \cdot \frac{121}{144}} = \sqrt{36 - \frac{11}{12} - \frac{121}{12}} = \sqrt{36 - \frac{132}{12}} = \sqrt{36 - 11} = \sqrt{25} = 5$.

$5 = 5$. Корень $x=\frac{11}{12}$ подходит.

Ответ: $x_1 = -1, x_2 = \frac{11}{12}$.

г)

Дано уравнение: $\sqrt[7]{1 - x^2 - x^3} = 1$.

Так как корень нечетной степени, можно без ограничений возводить обе части уравнения в седьмую степень.

$(\sqrt[7]{1 - x^2 - x^3})^7 = 1^7$

$1 - x^2 - x^3 = 1$

$-x^2 - x^3 = 0$

Умножим обе части на -1:

$x^3 + x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x^2 = 0$ или $x + 1 = 0$

$x_1 = 0$ или $x_2 = -1$

Поскольку все преобразования были равносильными, проверка не обязательна. Оба значения являются корнями уравнения.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -1$.

30.3. a) $\sqrt{x + 2} \cdot \sqrt{3x - 2} = 4;$

б) $\sqrt{(x + 2)(3x - 2)} = 4;$

в) $\sqrt{x - 2} \cdot \sqrt{3x + 7} = 4;$

г) $\sqrt{(x - 2)(3x + 7)} = 4.$

а) $\sqrt{x+2} \cdot \sqrt{3x-2} = 4$

Для данного уравнения необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательными. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} x+2 \ge 0 \\ 3x-2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2 \\ 3x \ge 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2 \\ x \ge \frac{2}{3} \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x \ge \frac{2}{3}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x+2} \cdot \sqrt{3x-2})^2 = 4^2$

$(x+2)(3x-2) = 16$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3x^2 - 2x + 6x - 4 = 16$

$3x^2 + 4x - 4 - 16 = 0$

$3x^2 + 4x - 20 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 16 + 240 = 256$

$\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 16}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 16}{2 \cdot 3} = \frac{-20}{6} = -\frac{10}{3}$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge \frac{2}{3}$):

$x_1 = 2$. Корень подходит, так как $2 \ge \frac{2}{3}$.

$x_2 = -\frac{10}{3}$. Корень не подходит, так как $-\frac{10}{3} < \frac{2}{3}$.

Ответ: 2

б) $\sqrt{(x+2)(3x-2)} = 4$

Для данного уравнения необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Найдем ОДЗ:

$(x+2)(3x-2) \ge 0$

Нули выражения: $x = -2$ и $x = \frac{2}{3}$. Это парабола с ветвями вверх, значит, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -2] \cup [\frac{2}{3}, +\infty)$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{(x+2)(3x-2)})^2 = 4^2$

$(x+2)(3x-2) = 16$

Это уравнение идентично тому, что получилось в пункте а):

$3x^2 + 4x - 20 = 0$

Корни этого уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -\frac{10}{3}$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \in (-\infty, -2] \cup [\frac{2}{3}, +\infty)$):

$x_1 = 2$. Корень подходит, так как $2 \ge \frac{2}{3}$.

$x_2 = -\frac{10}{3}$. Корень подходит, так как $-\frac{10}{3} \approx -3.33$, что меньше $-2$.

Ответ: $-\frac{10}{3}; 2$

в) $\sqrt{x-2} \cdot \sqrt{3x+7} = 4$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x-2 \ge 0 \\ 3x+7 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 2 \\ 3x \ge -7 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 2 \\ x \ge -\frac{7}{3} \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x \ge 2$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x-2} \cdot \sqrt{3x+7})^2 = 4^2$

$(x-2)(3x+7) = 16$

$3x^2 + 7x - 6x - 14 = 16$

$3x^2 + x - 14 - 16 = 0$

$3x^2 + x - 30 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-30) = 1 + 360 = 361$

$\sqrt{D} = \sqrt{361} = 19$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 19}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 19}{2 \cdot 3} = \frac{-20}{6} = -\frac{10}{3}$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 2$):

$x_1 = 3$. Корень подходит, так как $3 \ge 2$.

$x_2 = -\frac{10}{3}$. Корень не подходит, так как $-\frac{10}{3} < 2$.

Ответ: 3

г) $\sqrt{(x-2)(3x+7)} = 4$

Найдем ОДЗ:

$(x-2)(3x+7) \ge 0$

Нули выражения: $x = 2$ и $x = -\frac{7}{3}$. Это парабола с ветвями вверх, значит, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -\frac{7}{3}] \cup [2, +\infty)$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{(x-2)(3x+7)})^2 = 4^2$

$(x-2)(3x+7) = 16$

Это уравнение идентично тому, что получилось в пункте в):

$3x^2 + x - 30 = 0$

Корни этого уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -\frac{10}{3}$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \in (-\infty, -\frac{7}{3}] \cup [2, +\infty)$):

$x_1 = 3$. Корень подходит, так как $3 \ge 2$.

$x_2 = -\frac{10}{3}$. Корень подходит, так как $-\frac{10}{3} \approx -3.33$, а $-\frac{7}{3} \approx -2.33$, и $-3.33 \le -2.33$.

Ответ: $-\frac{10}{3}; 3$