Номер 28.52, страница 179, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 28. Равносильность неравенств. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 28.52, страница 179.

28.52. $\log_8 \log_9 \log_{7x+6} (((7x+6)^9 + x^2 - x - 56)) > 0.$

Дано логарифмическое неравенство:

$$ \log_{8} \log_{9} \log_{7x+6} ((7x+6)^9 + x^2 - x - 56) > 0 $$

Поскольку основание внешнего логарифма $8 > 1$, неравенство равносильно тому, что его аргумент больше $8^0=1$:

$$ \log_{9} \log_{7x+6} ((7x+6)^9 + x^2 - x - 56) > 1 $$

Аналогично, так как основание второго логарифма $9 > 1$, переходим к неравенству, в котором аргумент больше $9^1=9$:

$$ \log_{7x+6} ((7x+6)^9 + x^2 - x - 56) > 9 $$

Теперь мы имеем дело с логарифмом с переменным основанием. Решение этого неравенства зависит от значения основания $7x+6$. Также необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ): основание должно быть больше нуля и не равно единице ($7x+6 > 0$ и $7x+6 \ne 1$), а аргумент логарифма должен быть строго положителен ($(7x+6)^9 + x^2 - x - 56 > 0$).

Разобьем решение на два случая.

Случай 1: Основание больше 1

Пусть $7x+6 > 1$, что равносильно $7x > -5$, или $x > -5/7$.

При потенцировании знак неравенства сохраняется:

$$ (7x+6)^9 + x^2 - x - 56 > (7x+6)^9 $$

Упрощая, получаем квадратное неравенство:

$$ x^2 - x - 56 > 0 $$

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 56 = 0$. Используя формулу для корней квадратного уравнения, получаем: $x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-56)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 224}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{1 \pm 15}{2}$. Корни: $x_1 = 8$ и $x_2 = -7$.

Решением неравенства $(x-8)(x+7) > 0$ является объединение интервалов $(-\infty, -7) \cup (8, \infty)$.

Найдем пересечение этого решения с условием $x > -5/7$. Получаем $x \in (8, \infty)$.

На этом интервале ОДЗ для аргумента ($(7x+6)^9 + x^2 - x - 56 > 0$) выполняется, так как $x^2 - x - 56 > 0$ и $7x+6 > 1$, следовательно $(7x+6)^9 > 1$, и их сумма положительна. Таким образом, решение в первом случае: $x > 8$.

Случай 2: Основание от 0 до 1

Пусть $0 < 7x+6 < 1$, что равносильно $-6 < 7x < -5$, или $-6/7 < x < -5/7$.

При потенцировании знак неравенства меняется на противоположный. Кроме того, по определению логарифма, его аргумент должен быть положителен.

$$ 0 < (7x+6)^9 + x^2 - x - 56 < (7x+6)^9 $$

Это двойное неравенство эквивалентно системе:

1) $x^2 - x - 56 < 0 \implies -7 < x < 8$.

2) $(7x+6)^9 + x^2 - x - 56 > 0$.

Пересекая решение первого неравенства $(-7, 8)$ с условием данного случая $(-6/7, -5/7)$, получаем интервал $x \in (-6/7, -5/7)$.

Теперь проверим, выполняется ли на этом интервале второе неравенство. Для $x \in (-6/7, -5/7)$ имеем $0 < 7x+6 < 1$, так что $0 < (7x+6)^9 < 1$. Выражение $f(x)=x^2 - x - 56$ на этом интервале отрицательно, так как, например, $f(-5/7) = (-5/7)^2 - (-5/7) - 56 = 60/49 - 56 < 0$ и $f(-6/7) = (-6/7)^2 - (-6/7) - 56 = 78/49 - 56 < 0$. Сумма малого положительного числа (из интервала $(0,1)$) и большого по модулю отрицательного числа (около -54) будет отрицательной. Следовательно, неравенство $(7x+6)^9 + x^2 - x - 56 > 0$ не выполняется.

В этом случае решений нет.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем, что решением исходного неравенства является только решение из первого случая.

Ответ: $x \in (8, \infty)$.